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Rendimenti di scala costanti

I rendimenti di scala costanti sono rendimenti di scala della produzione in cui l'aumento delle quantità dei fattori produttivi determina un aumento proporzionale della quantità della produzione. Data una funzione di produzione a due fattori produttivi y = f ( x1, x2 ), l'incremento delle quantità di impiego del fattore produttivo Δ x1 / x1 genera un incremento quantitativo della produzione Δ y / y in modo tale che Δ y / y = Δ x1 / x1 .Ad esempio, l'incremento del 10% della quantità impiegata del fattore produttivo x1 determina l'incremento del 10% della quantità del prodotto finale y. La rappresentazione grafica di una funzione di produzione con rendimenti di scala costanti su un diagramma cartesiano è la seguente:

RENDIMENTI DI SCALA COSTANTI

Dal punto di vista matematico la derivata prima della funzione di produzione con rendimenti di scala crescenti y' è positiva ( y' > 0 ) poiché incrementando l'utilizzo del fattore produttivo ( Δx1 > 0 ) si genera un incremento positivo della produzione finale ( Δ y > 0 ). La derivata seconda della funzione di produzione y" è, invece, nulla ( y" = 0 ) in quanto l'aumento percentuale della produzione ( Δ y / y ) è esattamente proporzionale all'incremento percentuale delle quantità di impiego del fattore produttivo ( Δx1 / x1 ). Osservando contemporaneamente entrambi i fattori produttivi x1 e x2 si può descrivere il rendimento costante della funzione di produzione y = f ( x1, x2 ) mediante una funzione omogenea di grado k uguale a uno.

f ( t · x1, t · x2 ) = t · f ( x1, x2 )

La funzione di produzione con rendimenti costanti è una funzione omogenea con grado di omogeneità k=1 poiché moltiplicando tutte le variabili indipendenti x1 e x2 ( fattori produttivi ) per una costante t, la variabile dipendente y ( produzione ) della funzione di produzione risulta moltiplicata a un parametro tk dove tk = t.

f ( t · x1, t · x2 ) = tk f ( x1, x2 )

Nel caso dei rendimenti di scala costanti per avere la condizione tk = t l'esponente k della costante t deve necessariamente essere uguale a uno ( k = 1 ).

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