OKPEDIA SOTTOINSIEME

Sottoinsieme improprio

Dati due insiemi A e B, l'insieme A è un sottoinsieme improprio di B se tutti gli elementi dell'insieme A appartengono anche a B e tutti gli elementi di B appartengono anche a A.

un esempio di sottoinsieme improprio

Ogni insieme non vuoto ha sempre due sottoinsiemi impropri: l'insieme stesso e l'insieme vuoto.

L'insieme stesso

Qualsiasi insieme non vuoto è sempre un sottoinsieme di se stesso.

Dimostrazione

L'insieme A è sottoinsieme di se stesso perché è sempre vero che A ⊆ A.

A ⊆ A

Qualsiasi insieme non vuoto è incluso in un insieme uguale.

E' quindi un sottoinsieme improprio dell'insieme stesso.

Esempio

Un esempio di sottoinsieme improprio di se stesso è il seguente:

{ 1, 2, 3, 4, 5 } ⊆ { 1, 2, 3, 4, 5 }

L'insieme è incluso nell'insieme stesso.

L'insieme vuoto

Dato un qualsiasi insieme A non vuoto e un insieme vuoto ø, è possibile sempre affermare che l'insieme vuoto è incluso nell'insieme A.

ø ⊆ A

Quindi l'insieme vuoto ø è un sottoinsieme improprio, perché è un sottoinsieme di qualsiasi insieme non vuoto.

Nota. Questa affermazione deriva dal fatto che l'insieme vuoto non ha elementi. Pertanto, ogni elemento dell'insieme vuoto ( non elemento ) è da considerarsi anche un elemento per qualsiasi altro insieme.

Dimostrazione

Partamo dall'ipotesi:

ø ⊆ A

Se questa ipotesi non fosse vera, dovremmo essere in grado di trovare almeno un elemento dell'insieme vuoto ø che non appartiene all'insieme A.

Tuttavia, non è possibile trovare alcun elemento dell'insieme vuoto, perché l'insieme vuoto non ha elementi.

{ } ⊆ { 1, 2, 3, 4, 5 }

Quindi l'ipotesi ø ⊆ A non può essere falsa.

Essendo impossibile che sia falsa, allora l'ipotesi ø ⊆ A è vera.

Per questo motivo l'insieme vuoto ø è considerato un sottoinsieme improprio dell'insieme A e, più in generale, di qualsiasi altro insieme non vuoto.

Nota. Si tratta di una dimostrazione per assurdo perché parte dall'ipotesi opposta per dimostrare la sua impossibilità.

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