Prodotto cartesiano

Il prodotto cartesiano di due insiemi A e B è l'insieme di tutte le coppie ordinate ( a ; b ) in cui il primo elemento appartiene all'insieme A e il secondo elemento appartiene all'insieme B. Il prodotto cartesiano si scrive A X B e si legge "A per B" oppure "A cartesiano B".

A X B = { ( x ; y ) | x ∈ A , y ∈ B }

Ogni singola coppia di elementi è racchiusa tra parentesi tonde, con gli elementi separati tra loro dal simbolo punto e virgola ( ; ). Ad esempio, dati due insiemi A = { 1, 2 } e B = { 3, 4 }, il prodotto cartesiano A X B è l'insieme composto dalle coppie { (1 ; 3), (1 ; 4), (2 ; 3), (2 ; 4) }. Il prodotto cartesiano di due insiemi può essere rappresentato graficamente sul piano ponendo gli elementi dell'insieme A su un asse orizzontale e gli elementi dell'insieme B su un asse verticale. I due assi due rette sono tra loro perpendicolari. La rappresentazione del prodotto cartesiano è detta rappresentazione cartesiana o diagramma cartesiano. Riprendendo l'esempio precedente, il prodotto cartesiano A x B può essere rappresentato nel seguente modo:

Il primo insieme del prodotto cartesiano viene posto sull'asse orizzontale ( ascisse ) mentre il secondo insieme viene posto sull'asse verticale ( ordinate ). In ciascuna coppia è fondamentale l'ordine di presentazione degli elementi. Ad esempio, la coppia ( 1 ; 3 ) non è uguale alla coppia ( 3 ; 1 ).

Soltanto la prima coppia ( 1 ; 3 ) appartiene al prodotto cartesiano A X B. In conclusione, il prodotto cartesiano non è commutativo. Il prodotto cartesiano A x B non è uguale al prodotto cartesiano B x A.

A X B ≠ B X A

Rappresentazione del prodotto cartesiano. Il prodotto cartesiano di due insiemi può essere rappresentato, oltre che con il diagramma cartesiano o con una tabella a doppia entrata ponendo sulle righe della tabella gli elementi dell'insieme A e sulle colonne della tabella gli elementi dell'insieme B.