Insieme vuoto
L'insieme vuoto è un insieme che non ha elementi. Per indicare un insieme vuoto si utilizza il simbolo di un cerchio con una barra obliqua ø oppure con due parentesi graffe senza alcun elementi al loro interno { }. Il simbolo più utilizzato nella notazione matematica per indicare l'insieme vuoto è il seguente:
ø
Nella teoria degli insiemi è anche conosciuto come insieme nullo. L'insieme vuoto non deve essere confuso con il nulla. Pur non avendo alcun elemento al suo interno è pur sempre un insieme ed è pertanto qualcosa da considerare.
Le proprietà dell'insieme vuoto
Le principali proprietà dell'insieme vuoto sono le seguenti:
- Unicità dell'insieme vuoto. L'insieme vuoto è uno e uno solo. Ciò vuole dire che l'insieme vuoto dei numeri naturali dispari divisibili per due e l'insieme delle consonanti nella parola "aiuola" sono lo stesso insieme vuoto. Per questa ragione si parla dell'insieme vuoto sempre al singolare e non si utilizza mai il termine al plurale ( insiemi vuoti ).
- Universalità dell'insieme vuoto. L'insieme vuoto è un sottoinsieme improprio di tutti gli insiemi in quanto, dato un qualsiasi insieme A e un insieme vuoto, non è possibile trovare alcun elemento dell'insieme vuoto che non appartenga all'insieme A. L'insieme vuoto è, quindi, detto sottoinsieme improprio dell'insieme A.
L'insieme vuoto nelle operazioni tra gli insiemi
Nella teoria degli insiemi l'insieme vuoto è l'elemento assorbente dell'intersezione e l'elemento neutro dell'unione.
- L'unione tra qualsiasi insieme X e l'insieme vuoto Ø è lo stesso insieme X $$ X \cup \emptyset =\emptyset \cup X = X $$
- L'intersezione tra qualsiasi insieme X e l'insieme vuoto Ø è ancora l'insieme vuoto $$ X \cap \emptyset =\emptyset \cap X = \emptyset $$
