Estremo inferiore di un insieme
L'estremo inferiore di un insieme non vuoto A è il più grande numero reale che è minore o uguale a ogni elemento di A.
È anche detto limite massimo inferiore (greatest lower bound) o inf (infimum).
Questo numero, che può essere un elemento dell'insieme A oppure no, serve a delimitare inferiormente l'insieme A ed è indicato con il simbolo inf(A).
$$ \inf(A) $$
La definizione di estremo inferiore
Formalmente, per un insieme non vuoto A di numeri reali, un numero x è l'infimo di A se soddisfa due condizioni:
- x è un minorante di A, ovvero x è minore o uguale a ogni altro elemento dell'insieme A $$ \forall \ a \in A \Rightarrow a \geq x $$
- x è il massimo tra i minoranti di A, cioè x è maggiore o uguale a ogni altro minorante y di A $$ \forall \ y \in R \ , \ (\forall \ a \ \in A, a \geq y) \Rightarrow \inf(A) \geq y $$
Se l'estremo inferiore di A è anche un elemento dell'insieme A, allora è detto il minimo di A e si indica con min(A). $$ \inf(A) \in A \Rightarrow \inf(A) = \min(A) $$
Esempi
Esempio 1
Per l'insieme finito A, tutti gli elementi sono maggiori o uguali a 1, quindi 1 è un minorante di A.
$$ A = \{2, 3, 4, 5\} $$
Tuttavia, 2 è il massimo dei minoranti e quindi l'estremo inferiore di A.
$$ \inf(A) = 2 $$
In questo caso, l'estremo inferiore coincide con il minimo dell'insieme A.
$$ \inf(A) = \min(A) = 2 $$
Esempio 2
L'insieme dei numeri interi negativi è illimitato inferiormente,
$$ Z^- = \{\ldots, -5, -4, -3, -2, -1 \} $$
Il suo estremo inferiore è l'infinito negativo (-∞) perché non esiste un numero reale inferiore a qualsiasi numero intero negativo.
$$ \inf(Z^-) = -\infty $$
In questo insieme l'estremo inferiore non appartiene all'insieme Z-.
Pertanto, l'insieme Z- ha un estremo inferiore (inf) ma non ha un minimo (min).
