Insiemi uguali

Insiemi uguali. Dati due insiemi A e B, questi sono detti insiemi uguali se sono composti dagli stessi elementi. La relazione di uguaglianza tra due insiemi è indicata dal simbolo uguale A=B.

Ad esempio, l'insieme A è composto dagli elementi { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } e l'insieme B è composto dagli elementi { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }. I due insiemi sono composti dagli stessi elementi e possiamo affermare che sono insiemi uguali. La rappresentazione grafica degli insiemi uguali è la seguente:

Se due insiemi A e C non sono uguali, si indica A≠C. Ad esempio, consideriamo l'insieme A={1, 2, 3, 4, 5, 6} e l'insieme C={5, 6, 7, 8, 9}. I due insiemi non hanno tutti gli stessi elementi. Quindi, sono insiemi non uguali ovvero insiemi distinti.

Tra due insiemi uguali si verifica una doppia inclusione reciproca. Dati due insiemi A e B, questi sono insiemi uguali se e soltanto e l'insieme A è incluso nell'insieme B e l'insieme B è incluso nell'insieme A. In altri termini, "due insiemi sono uguali se ogni elemento del primo insieme è anche un elemento dell'altro insieme e viceversa".

A = B ⇔ A ⊆ B e A ⊇ B

E' vera anche l'affermazione contraria. Tra due insiemi si verifica una condizione di doppia inclusione se e soltanto se i due insiemi sono uguali ( uguaglianza insiemi ).

Esempio 1

Consideriamo due insiemi A e B

$$ A = \{ 1,3,5,7 \} $$

$$ B = \{ 5,1,7,3 \} $$

I due insiemi sono uguali perché ogni elemento di A appartiene anche B e viceversa. L'ordine degli elementi non è importante in un insieme.

Esempio 2

Questi due insiemi A e C non sono uguali

$$ A = \{ 1,3,5,7 \} $$

$$ C = \{ 5,1,7,4 \} $$

In questo caso l'elemento 3 appartiene all'insieme A ma non all'insieme C. L'elemento 4 appartiene all'insieme C ma non anche all'insieme A.