Rendimenti di scala crescenti

I rendimenti di scala crescenti sono rendimenti di scala della produzione in cui l'incremento delle quantità dei fattori produttivi genera un incremento più che proporzionale della quantità della produzione. Data una funzione di produzione a due fattori produttivi y = f ( x₁, x₂ ), l'incremento quantitativo del fattore produttivo Δ x₁ / x₁ determina un incremento della produzione Δ y / y in modo tale che Δ y / y > Δ x₁ / x₁ .Ad esempio, l'incremento del 5% della quantità impiegata del fattore produttivo x₁ genera l'aumento del 10% della quantità del prodotto finale y. La rappresentazione grafica di una funzione di produzione con rendimenti di scala crescenti è la seguente:

Dal punto di vista matematico la derivata prima della funzione di produzione con rendimenti di scala crescenti y' è positiva ( y' > 0 ) in quanto aumentando l'impiego del fattore produttivo ( Δx₁ > 0 ) si ottiene un incremento positivo della produzione ( Δ y > 0 ). Anche la derivata seconda della funzione di produzione y" è positiva ( y" > 0 ) poiché l'incremento della produzione ( Δ y / y ) è più che proporzionale rispetto all'incremento delle quantità del fattore produttivo ( Δx₁ / x₁ ). Analizzando entrambi i fattori x₁ e x₂ è possibile descrivere il rendimento crescente della funzione di produzione y = f ( x₁, x₂ ) come una funzione omogenea di grado k superiore a uno.

f ( t · x₁, t · x₂ ) > t · f ( x₁, x₂ )

La funzione di produzione con rendimenti crescenti è una funzione omogenea con grado di omogeneità k>1 in quanto moltiplicando tutte le variabili indipendenti x₁ e x₂ ( fattori di produzione ) per una costante t, la variabile dipendente y ( produzione ) della funzione di produzione risulta moltiplicata a un parametro t^k dove t^k > t.

f ( t · x₁, t · x₂ ) = t^k f ( x₁, x₂ )

Nel caso dei rendimenti di scala crescenti per avere la condizione t^k > t l'esponente k della costante t deve necessariamente essere superiore a uno ( k > 1 ).