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Logica proposizionale

La logica proposizionale è un linguaggio formale basato sulle proposizioni atomiche ( proposizioni elementari ) e sui connettivi logici ( AND, OR, NOT, XOR, ... ). La logica proposizionale è anche detta calcolo proposizionale. La sintassi della logica elementare consente di costruire un insieme di relazioni tra le proposizioni e di confrontare il valore di verità utilizzando i valori "vero" ( T = True ) o falso ( F = False ) dell'algebra booleana. Ogni simbolo equivale a una proposizione logica che può essere vera o falsa. Nella logica proposizionale i simboli sono atomici ossia non possono essere scomposti in componenti. Ad esempio, il simbolo Est è atomico se non può essere scomposto nelle componenti ( E, s, t ). Le formule possono essere composte da una proposizione ( formula elementare ) o da più proposizionali ( formule complesse ).

  • Sintassi. La sintassi della logica proposizionale definisce le formule accettabili e le regole formali del linguaggio. Soltanto le formule che rispettano la sintassi del linguaggio possono essere utilizzate all'interno di un modello proposizionale ( formule accettabili ). Quando una formula rispetta la grammatica della logica proposizionale ( sintassi ) si dice "corretta" o "ben formata" ( FBF o WFT "well-formed formulas").
  • Semantica. La semantica della logica proposizionale definisce le regole per determinare la tavola di verità delle formule all'interno di un modello. Consente di dare significato alle formule. In base alla tavola di verità ( tabella di verità ) delle proposizioni, delle connessioni, formule la logica proposizionale permette di costruire una semantica, ossia permette di associare un significato all'insieme delle proposizioni.
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note


  • La logica proposizionale utilizza una semantica dichiarativa e composizionale. È una rappresentazione generale e indipendente dal contesto in cui si utilizza. La logica proposizionale è particolarmente efficace per rappresentare i fatti senza le ambiguità di un linguaggio naturale. Ogni fatto può essere associato a tre distinti stati:
    • Vero. Il fatto è vero.
    • Falso. Il fatto è falso.
    • Sconosciuto. Il fatto non è conosciuto.
    I fatti sconosciuti possono essere gestiti secondo l'assunzione del mondo chiuso ( il fatto sconosciuto è falso ) o secondo l'assunzione del mondo aperto ( il fatto sconosciuto non è né vero, né falso ).
  • Incertezza ( rischio ). La logica proposizionale è poco adatta a gestire situazioni di incertezza. In un dominio di conoscenza complesso i fatti potrebbero avere molteplici connessioni e cause determinanti. È difficoltoso costruire una base di conoscenza in grado di contemplare tutte le premesse e tutti i casi possibili. Al verificarsi di una premessa non è detto che si verifichi sempre la conseguenza logica prevista dalla base di conoscenza, creando un serio conflitto logico tra la previsione e la realtà osservata. Per risolvere il problema è necessario integrare la teoria della probabilità nella logica proposizionale e le variabili casuali. Ad esempio, la regola x è vera con una probabilità P(x) ed è falsa con una probabilità [ 1 - P(x) ]. In questo modo, qualunque sia l'esito sperimentale ( regola vera o falsa ) non si verifica un conflitto tra la previsione logica e la realtà osservata.

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