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Logica del primo ordine

La logica del primo ordine è un linguaggio formale di rappresentazione degli enunciati, delle relazioni e del ragionamento logico. Come in un linguaggio naturale anche nella logica del primo ordine la realtà è un insieme suddiviso in oggetti ( elementi ) e nelle relazioni ( collegamenti ) tra gli oggetti. La realtà può consistere in un insieme chiuso o aperto. La logica del primo ordine utilizza una propria sintassi e semantica per rappresentare la realtà tramite gli oggetti e le relazioni. Ad esempio, l'enunciato "ogni madre è un genitore femmina" è espresso tramite la seguente formula del primo ordine:

LOGICA DEL PRIMO ORDINE ( ESEMPIO )

La precedente formula può essere letta nel seguente modo "per ogni" ( ∀ ) coppia di persone (x,y), in cui il soggetto y è la madre del soggetto x, se ciò è vero allora il soggetto y è femmina ed è il genitore di x. La logica del primo ordine è utilizzata per la rappresentazione della conoscenza e, più in generale, della logica matematica e della logica proposizionale. Un linguaggio della logica del primo ordine è caratterizzato da un insieme di simboli ( alfabeto ), da un insieme di termini ( oggetti ) appartenenti a un determinato insieme e, infine, da un insieme di formule ben formate ( fbf ) di sintassi degli enunciati e delle relazioni e delle funzioni.

  • Oggetti. I termini del linguaggio individuando degli oggetti specifici della rappresentazione. Ad esempio, le variabili, le costanti e le funzioni sono termini della rappresentazione. Ad esempio, nella seguente formula la variabile x è utilizzata per definire l'implicazione logica. I termini Persona, Femmina e Maschio identificano le funzioni o relazioni di appartenenza. Il significato della formula è il seguente: "se x è una persona, allora x è femmina oppure maschio".
    FORMULA PRIMO ORDINE ( ESEMPIO )
  • Relazioni. Una relazione può svolgere diverse funzionalità. Nella logica del primo ordine le relazioni sono distinte in base al numero dei collegamenti.
    • Relazioni unarie. Le relazioni unarie consentono di associare una proprietà a un oggetto. Ad esempio, la seguente relazione è unaria in quanto associa all'oggetto x la proprietà di essere "femmina".
      RELAZIONE UNARIA
    • Relazioni n-arie. Le relzioni n-arie, invece, associano una particolare relazione tra più oggetti. Ad esempio, la seguente relazione è n-aria in quanto pone in relazione due oggetti distinti (x,y) e afferma che l'oggetto x è il "genitore" dell'oggetto y.
      RELAZIONE N-ARIA NELLA LOGICA DEL PRIMO ORDINE
  • Funzioni. Nel linguaggio del primo ordine le funzioni sono relazioni in grado di collegare tutti gli oggetti che presentano una determinata qualità a un altro oggetto o valore booleano. Ad esempio, "tutte le persone respirano", "tutte le automobili hanno quattro ruote", ecc. Nel primo esempio le funzioni sono sono Persona, Respira mentre nel secondo esempio sono Automobile e Ha Quattro Ruote.
    ESEMPIO FUNZIONE IN UNA FORMULA DEL PRIMO ORDINE
  • Simboli del linguaggio. I simboli del linguaggio sono un insieme composto da simboli alfanumerici utilizzati per individuare le variabili, le costanti, le relazioni ( predicati ), le funzioni, i connettivi logici ( negazione, congiunzione, disgiunzione, implicazione, ecc. ) e i quantificatori logici. Ad esempio, la seguente formula del primo ordine include un quantificatore universale ( ∀), un quantificatore esistenziale ( ∀ ), dei connettivi logici ( ∧ ∨ ¬ ), un'implicazione logica ( ⇒ ) e i simboli delle proposizioni logiche ( Q, S ) e degli oggetti ( x, y).
    .FORMULA DEL PRIMO ORDINE
  • Quantificatori. I quantificatori consentono di assegnare una caratteristica a un sottoinsieme di oggetti senza doverli enumerare uno a uno. I principali quantificatori sono il quantificatore universale e il quantificatore esistenziale.
    • Quantificatore universale. Dato un modello, il quantificatore universale assegna una caratteristica Q "per ogni" oggetto (x) che risponde a una determinata caratteristica P. Le caratteristiche P e Q sono due espressioni logiche. Se la proposizione P è vera, allora anche la proposizione Q è vera. Ad esempio, ogni vescovo (P) è un uomo cattolico (Q).
      QUANTIFICATORE UNIVERSALE NELLA LOGICA DEL PRIMO ORDINE
    • Quantificatore esistenziale. Dato un modello, secondo quantificatore esistenziale "esiste almeno" un oggetto (x) con una caratteristica P che possiede anche la caratteristica Q. Le caratteristiche P e Q sono due espressioni logiche. Ad esempio, esiste almeno un vescovo (P) che è anche papa (Q).
      QUANTIFICATORE ESISTENZIALE NELLA LOGICA DEL PRIMO ORDINE
  • Formule ben formate ( fbf ). Gli enunciati di un linguaggio del primo ordine devono rispettare una particolare sintassi. Una formula è "ben formata" quando rispetta la sequenza sintattica corretta dei simboli.

La logica del primo ordine è utilizzata in diverse discipline e ambiti del sapere ( filosofia, matematica, intelligenza artificiale ).

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note


  • Interpretazione del modello del primo ordine. Un modello del primo ordine è caratterizzato da un'interpretazione che associa un simbolo specifico per ogni oggetto, relazione e funzione. I simboli degli oggetti sono le costanti del modello mentre i simboli delle relazioni sono i predicati. Ogni modello è un mondo possibile ed è caratterizzato da una specifica combinazione degli elementi ( oggetti, relazioni, funzioni) e di associazione di valori di identità. Il numero dei possibili modelli è determinato dal numero degli oggetti, delle relazioni, delle funzioni e dei valori di identità.
  • Enumerazione di un modello di logica proposizionale. L'enumerazione dei modelli possibili della logica del primo ordine è più complessa rispetto alla logica proposizionale. Nella logica del primo ordine un modello è composto dai simboli degli oggetti (O), delle relazioni (R) e delle funzioni (F). L'insieme delle combinazioni possibili tra gli oggetti (O) e le relazioni (R) è molto più grande rispetto ai modelli di logica proposizionale. Ne consegue che un modello della logica di primo ordine debba essere analizzato tramite algoritmi di ricerca diversi dal mero model checking.
  • Differenza tra logica del primo ordine e logica proposizionale. L'ontologia della logica proposizionale si basa sulla verità ( vero ) o meno ( falso ) dei singoli fatti. L'ontologia della logica del primo ordine, invece, si basa sugli oggetti e sulle relazioni tra gli oggetti. La logica del primo ordine è, pertanto, più completa e idonea a rappresentare la complessità della realtà.
  • Logica temporale. La logica temporale è l'estensione della logica del primo ordine al fattore tempo. Nella logica temporale gli oggetti e le relazioni sono associate a un determinato istante temporale t1. Nel corso del tempo sia gli oggetti e sia le relazioni possono modificarsi. Ciò consente di rappresentare sia la realtà e sia l'evoluzione della realtà nel tempo. La logica temporale può essere basata su variabili temporali continue o discrete ( intervalli di tempo ).
  • Dominio e modello del primo ordine. I modelli della logica del primo ordine sono composti da relazioni, formule e oggetti, disposti in una determinata combinazione.Ogni modello è associato a valori di verità e rappresenta un determinato stato della realtà. L'insieme degli oggetti non deve essere vuoto ed è anche detto dominio del modello.
  • Tuple. Gli oggetti di un dominio ( modello ) sono collegati tramite relazioni unarie, binarie e n-arie. Una tupla è una collezione ordinata di oggetti. Ogni tupla è composta da uno o due oggetti e da un predicato ( relazione ) che collega gli oggetti tra loro. Le tuple sono alla base di molti linguaggi di rappresentazione come, ad esempio, del linguaggio RDF che le utilizza come sintassi dichiarativa ( tripla rdf ).
  • Rappresentazione grafica.

    LOGICA DEL PRIMO ORDINE ( ESEMPIO )

    L'enunciato "l'automobile è rossa" è una dichiarazione in cui viene associata una proprietà ( colore rosso ) a un oggetto ( automobile ). Le proprietà possono anche essere composte da un solo oggetto. Ad esempio, l'oggetto "Paolo Rossi" è una persona se la relazione/proprietà "persona" è associata al valore boolano "vero".
    RELAZIONE UNARIA
    L'enunciato "l'automobile e il treno sono mezzi di trasporto" è una dichiarazione in cui si afferma l'apprtenenza degli oggetti ( automobile e treno ) a un insieme ( mezzi di trasporto ). Le relazioni sono collegamenti tra alcuni oggetti dell'universo. È anche possibile definire delle relazioni globali su tutti gli oggetti dell'universo.
    RELAZIONE N-ARIA

  • Incertezza. La logica del primo ordine non consente di gestire un dominio di conoscenza molto complesso. È difficoltoso descrivere in modo completo un dominio di conoscenza tramite un insieme di premesse e conseguenze. L'uomo non ha una piena conoscenza dei fenomeni, tale da poter stilare una serie esaustiva di connessioni causa-effetto ( conoscenza imperfetta ). Inoltre, in molti casi è la stessa natura ad essere basata su regole complesse e caotiche, anziché logiche e deterministiche ( complessità ). Alcune conseguenze logiche potrebbero non verificarsi o andare in conflitto, causando una crisi per l'intero sistema logico. Infine, se anche fosse possibile stilare un elenco di regole completo e coerente di un dominio di conoscenza, sarebbe un lavoro enorme da realizzare e non riuscirebbe comunque a spiegare i nuovi fenomeni.
  • Grado di credenza. In condizioni di incertezza le conseguenze logiche potrebbero non verificarsi, causando una grave crisi all'intero sistema basato sulla ferrea logica del primo ordine. Per evitare questo problema si ricorre alla teoria della probabilità, assegnando a ogni formula un grado di credenza ossia una probabilità di essere vera. Il grado di credenza è un indicatore sul grado di conoscenza ( o di ignoranza ) dell'osservatore. Una formula con un grado di credenza al 0,8 è creduta vera dall'osservatore al 80%. L'osservatore non è sicuro che la conseguenza logica si verifichi sempre ( incertezza ). In questo modo, se una conseguenza logica attesa non si verifica nei fatti, l'intero sistema logico continua comunque a funzionare. Quando una formula ha un grado di credenza pari a 1, invece, l'osservatore è sicuro al 100% che questa sia sempre vera ( certezza ). Il grado di credenza è particolarmente importante nei sistemi esperti sul dominio di conoscenza medico o giuridico.


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