Quantificatore universale
Il quantificatore universale è un simbolo della notazione matematica che sostituisce l'espressione "per ogni". È indicato con il simbolo ∀. Il quantificatore universale consente di affermare che ogni elemento x appartenente a un insieme universo U e soddisfa una determinata condizione di un enunciato aperto, appartiene anche all'insieme di verità dell'enunciato aperto Ad esempio, il predicato ogni numero x appartenente all'insieme dei numeri naturali multiplo di tre può essere scritto nel seguente modo.
∀x ∈ N | x è multiplo di 3
Il quantificatore universale consente di indicare un insieme infinito o finito di numeri che rispettano la condizione, senza doverli indicare singolarmente uno alla volta. Consente, quindi, di evitare di scrivere
x=3 allora x è multiplo di 3
x=9 allora x è multiplo di 3
x=27 allora x è multiplo di 3
...
Il quantificatore esistenziale è uno dei principali quantificatori della notazione matematica. Viene teorizzato alla fine dell'Ottocento dal matematico tedesco Gottlob Frege. In pochi decenni il formalismo matematico di Frege viene adottato in gran parte del mondo accademico e scientifico. Il simbolo del quantificatore universale ∀ viene coniato successivamente dal matematico statunitense Charles Sanders Peirce.
Quantificatore universale nella logica del primo ordine
Il quantificatore universale può essere utilizzato nella logica del primo ordine per assegnare una caratteristica a un intero insieme di oggetti senza doverli enumerare singolarmente. Ad esempio, la proposizione "ogni uomo è un essere vivente" può essere scritta nella logica del primo ordine nel seguente modo:
La formula si legge " per ogni x in cui la proprietà 'uomo' è vera, allora anche la proprietà 'essere vivente' è vera. Il quantificatore universale consente di assegnare la proprietà 'essere_vivente' a tutti gli oggetti che hanno la proprietà 'uomo' vera, senza dover assegnarla a ogni oggetto uno a uno.
