Equazioni di secondo grado

L'equazione di secondo grado si presenta nella forma generale:

$$ ax^2 + bx + c = 0 $$

Dove \(a\), \(b\) e \(c\) sono coefficienti numerici, con \(a \neq 0\).

Questa equazione rappresenta una parabola nel piano cartesiano e le sue soluzioni, o radici, sono i punti in cui la parabola interseca l'asse delle \(x\).

Come risolvere un'equazione di secondo grado

Il discriminante \(\Delta\) dell'equazione è definito come:

$$ \Delta = b^2 - 4ac $$

In base al suo valore, possiamo capire la natura delle soluzioni:

• Se \(\Delta > 0\): l'equazione ha due soluzioni reali e diverse. La parabola interseca l'asse \(x\) in due punti distinti.
• Se \(\Delta = 0\): l'equazione ha una soluzione reale doppia (radice ripetuta). La parabola tocca l'asse \(x\) in un unico punto.
• Se \(\Delta < 0\): l'equazione non ha soluzioni reali, ha soluzioni complesse e coniugate. La parabola non interseca l'asse \(x\).

Esempio. Consideriamo \(x^2 - 5x + 6 = 0\). Qui, \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 6\). Calcoliamo il discriminante: \[ \Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1 \] Poiché \(\Delta > 0\), abbiamo due soluzioni reali e diverse. Applicando la formula generale: $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{5 \pm 1}{2} $$ Otteniamo \(x_1 = 3\) e \(x_2 = 2\).

La formula ridotta

Quando il coefficiente \(b\) è pari, è possibile semplificare i calcoli con la formula ridotta:

$$ x = \frac{-\beta \pm \sqrt{\Delta'}}{a} $$

Dove \(\beta = \frac{b}{2}\) e \(\Delta' = \beta^2 - ac\). Questa formula è utile per evitare di lavorare con numeri più grandi.

Esempio. Prendiamo \(2x^2 - 6x + 4 = 0\). Qui, \(a = 2\), \(b = -6\), \(c = 4\). Calcoliamo \(\beta\) e \(\Delta'\): $$
\beta = \frac{-6}{2} = -3, \quad \Delta' = (-3)^2 - 2(2)(4) = 9 - 16 = -7 $$ Poiché \(\Delta' < 0\), le soluzioni sono complesse.

Se \(a = 1\) e \(b\) è pari, possiamo ulteriormente semplificare usando la formula ridottissima:

$$ x = -\beta \pm \sqrt{\beta^2 - c} $$

Esempio. Per \(x^2 - 4x + 3 = 0\), con \(\beta = \frac{-4}{2} = -2\): $$ x = -(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 3} = 2 \pm \sqrt{4 - 3} = 2 \pm 1 $$ Le soluzioni sono \(x_1 = 3\) e \(x_2 = 1\).

Soluzioni particolari: equazioni incomplete

Quando alcuni termini sono assenti, possiamo semplificare ulteriormente:

• Forma pura (\(bx = 0\))
  L'equazione si risolve con \(x = \pm \sqrt{-c/a}\).
• Forma spuria (\(c = 0\))
  Raccogliendo \(x\), ottieni \(x(x + b/a) = 0\), quindi \(x_1 = 0\) e \(x_2 = -b/a\).