Relazioni

Una relazione su un insieme è un concetto matematico che descrive un collegamento tra elementi dell'insieme stesso o tra elementi di due insiemi diversi.

Se \( R \) è una relazione su \( S \), scriviamo \( x R y \) per indicare che \( x \) è in relazione con \( y \). Questo equivale a dire che la coppia \( (x, y) \) appartiene a \( R \), ovvero \( (x, y) \in R \).

Formalmente, una relazione binaria su un insieme \( S \) è un sottoinsieme del prodotto cartesiano \( S \times S \). Questo significa che una relazione è costituita da coppie ordinate di elementi di \( S \), dove il primo elemento è in relazione con il secondo secondo una certa proprietà.

Esempio. Nell'insieme delle persone, la relazione "essere padre di" può essere rappresentata come l'insieme di coppie \( (x, y) \) in cui \( x \) è padre di \( y \).

In modo più generale, una relazione può essere definita tra due insiemi distinti \( A \) e \( B \) come un sottoinsieme del prodotto cartesiano \( A \times B \). In questo caso, diremo che la relazione è tra gli elementi di \( A \) e gli elementi di \( B \).

Le relazioni sono alla base di molti concetti matematici, come le funzioni, le relazioni di equivalenza e le relazioni d'ordine.

Esempio

Consideriamo l'insieme \( S = \{1, 2, 3, 4\} \).

Definiamo la relazione \( R \) come "essere maggiore di", cioè:

\[ x R y \quad \text{se e solo se} \quad x > y \]

In termini di coppie ordinate, questa relazione è rappresentata dall'insieme:

\[ R = \{(2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3)\} \]

Qui, ad esempio, la coppia \( (3,1) \) appartiene a \( R \) perché \( 3 > 1 \), mentre la coppia \( (1,3) \) non appartiene a \( R \) perché \( 1 \) non è maggiore di \( 3 \).

Questa è una relazione d’ordine su \( S \) che non è simmetrica (perché se \( x R y \), in generale \( y R x \) non vale), ma è transitiva (se \( x R y \) e \( y R z \), allora \( x R z \)).