Equazione lineare

Un’equazione lineare in una incognita si presenta nella forma generale: $$ ax = b $$ dove \(a\) e \(b\) sono numeri reali (con \(a\) diverso da zero per un caso significativo) e \(x\) è l’incognita.

L'equazione lineare ha tre possibili soluzioni:

• Caso \(a \neq 0\):
  L’equazione ha una sola soluzione, ottenuta dividendo entrambi i membri per \(a\): $$ x = \frac{b}{a} $$

  Esempio. Consideriamo un esempio per chiarire il concetto. Prendiamo l'equazione $$ 3x = 9 $$ In questo caso abbiamo \(a = 3\) e \(b = 9\), quindi la soluzione è una sola ovvero \(x = \frac{9}{3} = 3\).

• Caso \(a = 0\):
  In questo caso bisogna distringuere tra due situazioni
  - Se \(b \neq 0\), l’equazione non ha soluzione, perché \(0x = b\) implica \(0 = b\), che è impossibile.
  - Se \(b = 0\), l’equazione è soddisfatta per qualsiasi valore di \(x\), quindi ha infinite soluzioni.

  Esempio. Consideriamo l'equazione $$ 0x = 4 $$ In questa equazone abbiamo \(a = 0\) e \(b = 4\). Quindi, non ci sono soluzioni. Ora, consideriamo anche l'equazione $$ 0x = 0 $$ Nell'equazione abbiamo \(a = 0\), \(b = 0\). Quindi, tutti i possibili valori di \(x\) sono soluzioni.

Riepilogando, le equazioni lineari in una incognita possono essere classificate in:

• Unica soluzione quando \(a \neq 0\).
• Nessuna soluzione quando \(a = 0\) e \(b \neq 0\).
• Infinite soluzioni quando \(a = 0\) e \(b = 0\).

Questa analisi copre tutti i casi possibili per un’equazione lineare in una incognita.