Varianza
La varianza è uguale al quadrato della deviazione standard. È uno dei principali indici di variabilità di una distribuzione statistica. La varianza è anche conosciuta come deviazione standard quadratica ed è indicata con la lettera greca sigma al quadrato σ2.
La formula della varianza
La varianza è la media aritmetica dei quadrati delle differenze tra ogni valore Xi della distribuzione e un valore medio preso come riferimento.
La deviazione standard quadratica è calcolata per prima volta da Karl Pearson. Il termine di "varianza" viene coniato successivamente da Ronald Fisher nel 1918.
Un esempio di calcolo della varianza
La seguente distribuzione statistica è composta da cinque elementi.
La media aritmetica della distribuzione è uguale a sei ( μ=6 ).
Per calcolare la varianza si sommano i quadrati delle differenze tra i valori xi della distribuzione X e il valore medio (6).
In questo esempio la varianza della distribuzione X è uguale a due ( σ2=2 ).
Come calcolare la varianza con le frequenze
Se i dati statistici non sono grezzi ma sono raggruppati in una tabella di frequenze, la formula per calcolare la varianza è la seguente:
La varianza è la media del prodotto tra i quadrati delle differenze ( xi - μ )2 e la relativa frequenza Φi della modalità.
Nota. Nel caso in cui la modalità fosse un intervallo di valori, si prende come riferimento il valore centrale della classe.
Un esempio di calcolo
La seguente tabella mostra una distribuzione statistica X rappresentata in classi.
A ciascuna modalità ( classe ) è associata una frequenza assoluta che indica il numero degli elementi della distribuzione con quel valore.
Per calcolare la varianza, si sommano i quadrati delle differenze tra ogni valore modale e la media aritmetica ( xi - μ )2 moltiplicati per la relativa frequenza Φi della classe.
Poi si divide la somma dei prodotti per il numero complessivo della popolazione.
In questo caso la distribuzione statistica è composta da venti elementi ( N=20 ).
In questo caso la varianza della distribuzione è uguale a 1,15.
Quali sono le applicazioni della varianza?
La varianza è utilizzata prevalentemente nella statistica inferenziale e nella teoria della probabilità.
Esempio. Quando la varianza di una variabile aleatoria è uguale a zero per un valore atteso x0, la variabile assume quasi certamente il valore x0.
Pur essendo un indice di variabilità statistica, la varianza non è invece utilizzata come indicatore sintetico della dispersione di una distribuzione.
Nota. Per il calcolo della dispersione statistica è molto più usata la deviazione standard.
