Scomposizione dei polinomi
La scomposizione dei polinomi è la riduzione di un polinomio in un prodotto di polinomi di grado inferiore. Quando un polinomio può essere scomposto è detto polinomio riducibile. Viceversa, quando non può essere ulteriormente scomposto è detto polinomio irriducibile. Esistono diversi metodi di scomposizione.
Raccoglimento a fattore comune
Nella scomposizione con raccoglimento a fattore comune in tutti i termini del polinomio è presente uno stesso fattore. Il fattore comune può essere una variabile o un numero. Il fattore comune può essere messo in evidenza ripetto agli altri fattori del polinomio. Ad esempio, nel seguente polinomio la variabile 'a' è presente in tutti i termini del polinomio.
ab+ac = a( b+c )
Raccoglimento a fattore parziale
Nella scomposizione con raccoglimento parziale il polinomio è caratterizzato dalla presenza di un fattore comune soltanto in alcuni termini ( non tutti ). I fattori comuni parziali possono essere messi in evidenza nei confronti dei rispettivi termini del polinomio. I fattori comuni parziali possono essere sia numeri che variabili. Ad esempio, nel seguente polinomio la variabile 'a' e la variabile 'b' sono fattori comuni parziali dei termini del polimonio. I fattori comuni parziali possono essere messi in evidenza rispetto a (x+y).
ax+ay+bx+by = a( x+y ) + b( x+y )
In questo caso i fattori comuni parziali, le variabili 'a' e 'b', hanno anche in comune il medesimo fattore ( x+y ). È, quindi, possibile raggrupparle come somma di addendi ( a+b ) che moltiplica il fattore comune ( x+y ).
( a+b )( x+y )
Riduzione da prodotti notevoli
Sulla base delle regole dei prodotti notevoli è possibile considerare altri metodi di scomposizione dei polinomi.
Differenza di quadrati
a2 - b2 = ( a+b )( a-b )
Quadrato di un binomio
( a + b )2 = a2+2ab+b2
( a - b )2 = a2-2ab+b2
Quadrato di un trinomio
( a + b +c )2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
Cubo di un binomio
( a + b )3 = a3+3a2b+3ab2+b3
( a - b )3 = a3-3a2b+3ab2-b3
Somma di cubi
a3+b3 = ( a+b )( a2-ab+b2 )
Differenza di cubi
a3-b3 = ( a-b )( a2+ab+b2 )
Casi particolari ( trinomi di 2° grado )
In particolari casi i trinomi di 2° grado possono essere ulteriormente scomposti. Un caso particolare riguarda la somma e il prodotto dei coefficienti del polinomio. Dato un polinomio di secondo grado x2+sx+p, in cui 's' e 'p' sono coefficienti numerici, è possibile riscrivere il polinoio come prodotto dei binomi ( x + a ) ( x + b ) quando il coefficiente di x2 è uguale a 1 ed è possibile trovare due numeri 'a' e 'b' la cui somma ( a+b ) è uguale al coefficiente 's' e il cui prodotto ( a·b ) è uguale al coefficiente 'p'.
x2+sx+p = ( x + a ) ( x + b )
a+b=s ∧ a·b=p
Ad esempio, un polinomio di secondo grado x2+5x+6 è composto dai coefficienti numerici 5 e 6. In questo caso è possibile trovare due numeri 'a' e 'b' tali da ottenere come prodotto 6 e come somma 5, si tratta dei numeri 2 e 3. La somma ( a+b = 2+3 ) dei numeri restituisce come risultato il numero 5, mentre il prodotto ( a·b = 2·3 ) dei numeri restituisce come risultato il numero 6. È quindi possibile riscrivere il polinomio x2+5x+6 nella forma ( x+3 )·( x+2 ).
