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Osservando la distribuzione di probabilità, qual è il punteggio più probabile nel lancio di due dadi?
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Distribuzione di probabilità

La distribuzione di probabilità è un modello che associa una probabilità a ogni modalità osservabile di una variabile aleatoria ( o variabile casuale ).

Esempio di distribuzione di probabilità. La distribuzione di probabilità dei punteggi ottenibili con il lancio di due dadi è la seguente:
un esempio di distribuzione di probabilità

La somma dei valori di una distribuzione di probabilità è sempre uguale a uno.

Tipi di distribuzioni di probabilità

A seconda della natura della variabile casuale, discreta o continua, la distribuzione di probabilità può essere:

  • Distribuzione di probabilità discreta
    Il fenomeno è osservabile con un numero intero di modalità.

    Esempio. Il lancio del dado è un fenomeno statistico discreto perché il numero delle modalità osservabili è pari a 6. La variabile aleatoria K può assumere soltanto sei valori { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }. Pertanto, la distribuzione di probabilità del fenomeno è discreta.
    un esempio di fenomeno statistico discreto

  • Distribuzione di probabilità continua
    La distribuzione di probabilità è continua quando la variabile casuale assume un insieme continuo di valori. Il fenomeno statistico è osservabile con un numero infinito o troppo elevato di modalità.

    Esempio. La distribuzione di probabilità della temperatura corporea è continua perché si tratta di un fenomeno statistico continuo, i valori della variabile aleatoria variano in modo continuo ( es. 36.1°C, 36.2°C, ecc. ).
    un esempio di fenomeno statistico continuo

La funzione di probabilità

La distribuzione di probabilità discreta è espressa tramite una funzione di probabilità p(x) che associa ogni modalità alla relativa probabilità di manifestarsi.

Generalmente consiste in un diagramma a barre oppure a torta.

la rappresentazione della distribuzione di probabilità di un fenomeno discreto

Nota. Il lancio di due dadi è un fenomeno statistico discreto perché le modalità ( punteggio ) sono complessivamente undici. Pertanto, può essere rappresentato con un diagramma a barre con 11 colonne.

La distribuzione di probabilità continua, invece, è espressa tramite una funzione di densità di probabilità f(x).

esempio di funzione di densità di probabilità

Nota. Trattandosi di un fenomeno statistico continuo, il fenomeno è rappresentabile con una funzione matematica continua.

Un esempio pratico di distribuzione di probabilità

In questo esercizio analizziamo la distribuzione di probabilità nelle famiglie con tre figli.

Con quale probabilità una famiglia ha tre figli maschi o tre figlie femmine? Con quale probabilità ha due figli maschi e una femmina? Con quale probabilità ha due figlie femmine e un maschio?

Partiamo dal presupposto che la probabilità semplice di avere un figlio maschio o femmina è pari 1/2 ossia è il 50% ( P = 0.5 ).

La probabilità composta di una famiglia con tutti figli maschi ( MMM ) è pari a 1/2 X 1/2 x 1/2 ossia P = 0.125 ( 12.5% ).

la probabilità di avere tre figli maschi

Lo stesso può dirsi per la famiglia con tutte figlie femmine ( FFF ). La probabilità è sempre 0.125 ossia 12.5%.

la probabilità di avere tre figlie femmine

Il calcolo della probabilità di avere due figli maschi ( MM ) e una femmina ( F ) è invece più complesso, perché questa modalità comprende 3 disposizioni semplici ( MMF , MFM , FMM ) in base all'ordine di nascita dei figli.

Esempio. Potrebbero nascere prima due maschi e poi una femmina. In alternativa, potrebbe nascere prima una femmina e poi due maschi. E così via. La combinazione è sempre la stessa ( due maschi e una femmina ) ma le disposizioni sono diverse.

Pertanto, la probabilità di avere due figli maschi e una femmina è pari a 0.375 ossia 37.5%.

il calcolo della probabilità composta con più combinazioni

Lo stesso calcolo deve essere effettuato per calcolare la probabilità di avere due figlie femmine ( FF ) e un maschio ( M ). Anche in questo caso ci sono tre combinazioni possibili ( FFM , FMF , MFF ) in base all'ordine di nascita.

Quindi, la probabilità di avere due figlie femmine e un maschio è pari a 0.375 ossia 37.5%.

la probabilità di avere due figlie femmine e un maschio

A questo punto abbiamo ottenuto le probabilità P per tutte le quattro modalità M del fenomeno statistico.

Possiamo rappresentare la distribuzione di probabilità sotto forma di tabella.

la distribuzione di probabilità in tabella

Nota. La somma delle probabilità P(X) delle modalità è uguale a 1.

La rappresentazione grafica della distribuzione di probabilità

Possiamo rappresentare la distribuzione di probabilità con un diagramma a barre ( o istogramma ) perché si tratta di una distribuzione discreta. È composta soltanto da quattro modalità.

un esempio di diagramma a barre

In alternativa, essendo molto poche le modalità statistiche, la distribuzione di probabilità può essere rappresentata graficamente anche con un diagramma a torta.

la rappresentazione della distribuzione di probabilità tramite un diagramma a torta

La differenza tra distribuzione di probabilità e di frequenza. La rappresentazione grafica delle distribuzioni è simile ( diagrammi, istogrammi, torte, tabelle, ecc. ) ma la grandezza rilevata è diversa. La distribuzione di probabilità associa ogni modalità X alla relativa probabilità P(x), mentre la distribuzione di frequenza si associa ogni modalità X alla relativa frequenza F(x).

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La distribuzione di probabilità

Le distribuzioni complesse


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