Valore atteso

Il valore atteso di una variabile casuale $V$ è la media ponderata dei possibili esiti futuri, ciascuno moltiplicato per la propria probabilità di verificarsi. In condizioni di incertezza, una variabile $V$ può assumere $n$ diversi valori a seconda dello stato del mondo. Nella teoria delle probabilità, il valore atteso è noto anche come media o speranza matematica.

A ogni possibile valore $v_j$ della variabile viene associata una probabilità $p_j$ che quell’esito si verifichi. Quando tutti gli esiti possibili sono considerati, la somma delle probabilità è pari a 1:

$$ \sum_{j=1}^n p_j = 1 $$

La formula generale del valore atteso di una variabile casuale discreta è:

$$ \mathbb{E}[V] = \sum_{j=1}^n v_j \cdot p_j $$

Il valore atteso rappresenta ciò che ci si aspetta di ottenere in media se l’esperimento aleatorio venisse ripetuto un numero molto elevato di volte. Non è necessariamente uno degli esiti possibili, ma un indicatore sintetico del comportamento medio della variabile.

Ad esempio, il lancio di una moneta può generare due esiti: testa o croce. Se assegniamo $ V(\text{testa}) = 100 $ (vittoria) e $ V(\text{croce}) = 0 $ (perdita) e ciascun esito ha probabilità $ 0.5 $, il valore atteso del gioco sarà: $$ \mathbb{E}[V] = 100 \cdot 0.5 + 0 \cdot 0.5 = 50 $$ In altre parole, in media ci si aspetta di vincere 50 per ogni lancio, se il gioco viene ripetuto molte volte.

Nel caso di variabili continue, il concetto di valore atteso si estende utilizzando l’integrazione:

$$ \mathbb{E}[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) , dx $$

Dove $f(x)$ è la funzione di densità di probabilità della variabile $X$.

Il valore atteso è uno strumento centrale in statistica, economia, teoria delle decisioni e finanza, in quanto consente di valutare in modo razionale le scelte in presenza di incertezza.