Relazioni tra categorie ( logica del primo ordine )

Nella rappresentazione della conoscenza le relazioni tra categorie consentono di migliorare la classificazione delle informazioni. Ogni categoria ( o sottocategoria ) è un sottoinsieme composto da elementi ( oggetti ). Due insiemi ( categorie ) possono essere in relazione di inclusione, di uguaglianza, di intersezione o di indipendenza. Le relazioni tra gli insiemi possono essere applicate alle categorie di un'ontologia nella rappresentazione della conoscenza. Le principali relazioni tra categorie sono le seguenti:

• Disgiunzione. Le categorie sono disgiunte se non hanno nemmeno un elemento in comune. Date due categorie disgiunte ( insiemi disgiunti ) A e B, questi sono separati tra loro. Se un elemento appartiene all'insieme A, allora non può appartenere anche all'insieme B, e viceversa. Ad esempio, se un oggetto appartiene alla categoria dei tablet, allora non può appartenere anche alla categoria dei personal computer poiché le due categorie sono disgiunte.
  
  Se un elemento non appartiene all'insieme A, non è però detto che appartenga all'insieme B in quanto la somma degli elementi delle due categorie è un sottoinsieme della categoria superiore ( computer ). Ad esempio, se un oggetto è un computer ma non è un tablet, non è detto che sia necessariamente un personal computer, potrebbe anche essere un home computer o altro. Nella logica del primo ordine la disgiunzione delle categorie può essere dichiarata nel seguente modo:
  
  
• Partizione ( scomposizione completa disgiunta ). Le categorie compongono una partizione se le categorie sono disgiunte e la somma delle categorie ( sottoinsiemi ) coincide esattamente con l'insieme universo. Le categorie non hanno elementi in comune. Date due categorie disgiunte A e B in una partizione P, se un elemento appartiene all'insieme A, allora non può appartenere anche all'insieme B, e viceversa. Inoltre, se un elemento non appartiene all'insieme A, allora deve necessariamente appartenere all'insieme B.
  
  Ad esempio l'insieme delle persone è composto dai sottoinsiemi dei maschi e delle femmine. La somma dei due sottoinsiemi ( maschi e femmine ) coincide con l'insieme principale ( persone ). È quindi possibile affermare che un elemento non appartenente all'insieme dei maschi, deve necessariamente appartenere a quello delle femmine, e viceversa. Nella logica del primo ordine la partizione tra due o più categorie può essere dichiarata nel seguente modo:
  
• Scomposizione completa non disgiunta. La scomposizione completa non disgiunta è una suddivisione esaustiva di una categoria in sottocategorie, in cui gli oggetti potrebbero appartenere contemporaneamente a due sottocategorie distinte ( non disgiunzione ). Ad esempio, in un insieme di persone aventi la cittadinanza italiana o argentina, una persona può avere la cittadinanza italiana, argentina o entrambe ( doppia cittadinanza ). L'appartenenza di un oggetto a una categoria non esclude completamente che l'oggetto appartenga anche all'altra categoria.
  
  Nella logica del primo ordine la scomposizione funzionale delle categorie è simile a quella già vista per creare una partizione e può essere scritta nel seguente modo:
  

Oggetto composto. Una categoria non è un oggetto composto. Una categoria è un insieme che comprende gli oggetti, i quali possono anche avere una massa, ma la categoria non ha alcuna massa di per sé. Viceversa, un oggetto composto è formato dall'aggregazione di più oggetti componenti e la somma delle masse degli oggetti componenti eguaglia la massa dell'oggetto composto ( partizione di componenti ).