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Qual l'integrale della funzione?
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Le proprietà degli integrali indefiniti

Gli integrali indefiniti sono l'operazione inversa della derivata di una funzione. Alcune proprietà degli integrali indefiniti sono particolarmente utili da ricordare perché agevolano le operazioni del calcolo infinitesimale.

la formula dell'integrale indefinito

Le principali proprietà degli integrali indefiniti sono le seguenti:

La derivata di un integrale

La derivata di un integrale è la funzione stessa.

la derivata di un integrale

Dimostrazione

L'integrale della funzione f(x) è una funzione primitiva F(x) la cui derivata restituisce f(x).

la differenza tra derivazione e integrazione

Pertanto, la derivata di un integrale della funzione f(x) è la funzione f(x) stessa.

Teorema della condizione sufficiente di integrabilità

Se una funzione f(x) è continua nell'intervallo [a,b], allora ammette delle primitive F(x) nello stesso intervallo.

Da questo teorema si deduce che tutte le funzioni continue sono integrabili.

Tuttavia, non tutte le funzioni continue sono derivabili.

Esempio. La funzione f(x)=|x| è continua ma non è derivabile in x=0, perché in questo punto il limite destro e sinistro della derivata f'(x) per x→0 sono diversi quindi non ha una derivata in x=0. Tuttavia, nel punto x=0 la funzione f(x) ammette comunque infinite primitive ossia è integrabile.
esempio di punto non derivabile della funzione continua
Perché? Nel punto x=0 la funzione continua f(x)=|x| è integrabile ma non derivabile a causa della presenza di un punto angoloso. Nei punti angolosi la funzione non è derivabile ma resta comunque una funzione continua.
un esempio di punto angoloso

Prima proprietà di linearità dell'integrale

Date due funzioni f(x) e g(x) che ammettono rispettivamente le primitive F(x) e G(x), allora anche la funzione f(x)+g(x) ammette una primitiva ed è uguale a F(x)+G(x).
la prima proprietà di linearità dell'integrale

Questa proprietà è una conseguenza della proprietà delle derivate. La derivata della funzione f(x)+g(x) è uguale alla somma delle derivate f'(x)+g'(x).

Dimostrazione

la dimostrazione della prima proprietà di linearità

Esempio

un esempio di applicazione della prima proprietà di linearità

Seconda proprietà di linearità dell'integrale

Se una funzione f(x) ammette una primitiva F(x), allora anche la funzione k·f(x) ammette una primitiva ed è k·F(x).
la seconda proprietà di linearità dell'integrale indefinito

Questa proprietà ha origine dalla derivata di una funzione per una costante k. La derivata di k·f(x) è uguale a k·f'(x).

Dimostrazione

dimostrazione della seconda proprietà di linearità dell'integrale

Esempio

un esempio di applicazione della seconda proprietà di linearità degli integrali indefiniti

https://www.okpedia.it/proprieta-integrali-indefiniti


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