Integrazione per sostituzione
L'integrazione per sostituzione è un metodo di risoluzione degli integrali, indefiniti o definiti, quando non sono risolvibili in modo immediato. Tramite il metodo per sostituzione si definisce una variabile t per riscrivere l'integrale in una forma più semplice e risolvibile.
- Come calcolare l'integrale per sostituzione
- Si pone t=g(x)
- Si pone dt=g'(x) dx oppure dx=g'(t) dt
- Si calcola l'integrale rispetto alla variabile t
- Si riscrive la primitiva in funzione di x
I due metodi di integrazione per sostituzione
Per risolvere un integrale per sostituzione si possono seguire due metodi equivalenti e alternativi tra loro.
Quale metodo scegliere?
La convenienza a scegliere il primo metodo o l'altro dipende dai calcoli da svolgere.
Entrambi i metodi di integrazione conducono allo stesso risultato.
Nota. Generalmente, il primo metodo è più rapido se g'(x)dx è evidente nella funzione. Il secondo metodo richiede alcuni passaggi in più ma, in compenso, consente di calcolare direttamente il dx e di sostituirlo, senza dover cercare g'(x)dx nell'integrale.
Un esempio pratico
Il seguente integrale è risolto con entrambi i metodi.
Il processo di calcolo cambia ma il risultato è identico.
Esempi di integrazione per sostituzione
Esempio 1
Il seguente integrale non è immediatamente risolvibile, perché non corrisponde a nessun integrale elementare.
Tuttavia, l'integrale rispetta le caratteristiche della formula generale per integrazione.
In quanto
Assegniamo alla variabile t la funzione sin x.
Poi deriviamo la variabile t rispetto a x (dx).
Come si può notare dt = g'(x) dx ossia dt = d(sin x) dx = cos x dx
E' quindi possibile riscrivere l'integrale in una forma più semplice sostituendo cos x dx con dt.
Dopo la sostituzione l'integrale è facilmente calcolabile, perché si tratta di un integrale elementare.
A questo punto è sufficiente sostituire la variabile t con sin x
Si ottiene così il risultato dell'integrale.
Esempio 2
La seguente funzione non è integrabile in modo immediato.
Tuttavia, si può semplificare ponendo t=ex.
Poi calcolare il differenziale dt e sostiuirlo a ex dx.
In questa forma equivalente l'integrale è risolvibile immediatamente perché si tratta di un integrale elementare.
Ora si può sostituire la variabile t con ex.
Si ottiene così il risultato dell'integrale.
Altri esercizi svolti
Per vedere altri esempi ed esercizi con il metodo di integrazione per sostituzione.