Gradiente di una funzione

Il gradiente è un operatore vettoriale che misura la variazione di una grandezza fisica nello spazio. Quando si applica il gradiente a una funzione scalare, si ottiene un vettore che rappresenta la direzione e l'intensità di massima crescita della funzione.

Definizione

Se $f(x,y,z)$ è una funzione scalare delle variabili spaziali $x$, $y$, e $z$, il gradiente $\nabla f$ si calcola come la somma delle derivate parziali lungo ciascun asse, moltiplicata per il versore dell'asse: \[ \nabla f = \frac{\partial f}{\partial x} \vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \vec{j} + \frac{\partial f}{\partial z} \vec{k} \]

Dove:

• $\frac{\partial f}{\partial x}$ è la derivata parziale rispetto a $x$
• $\vec{i}$, $\vec{j}$ e $\vec{k}$ sono i versori delle direzioni $x$, $y$, e $z$.

Se la funzione dipende solo da $x$ e $y$, il termine lungo $z$ si annulla.

Interpretazione fisica

Il gradiente indica la direzione in cui la funzione cresce più rapidamente e l'intensità della crescita (modulo del vettore).

In altre parole, il gradiente punta sempre "in salita" rispetto alla funzione.

La derivata direzionale tramite il gradiente

La derivata direzionale di una funzione lungo una direzione $\vec{v}$ si può calcolare come prodotto scalare tra il gradiente e $\vec{v}$:

\[ D_{\vec{v}} f = \nabla f \cdot \vec{v} \]

Questo permette di misurare quanto rapidamente la funzione varia lungo una direzione specifica.

Esempio pratico

Consideriamo la funzione scalare:

\[ f(x,y) = x^2 + y^2 \]

Calcoliamo il gradiente.

Deriviamo $f$ rispetto a $x$:

\[ \frac{\partial f}{\partial x} = 2x \]

Deriviamo $f$ rispetto a $y$:

\[ \frac{\partial f}{\partial y} = 2y \]

Il gradiente diventa:

\[ \nabla f = 2x \vec{i} + 2y \vec{j} \]

In questo caso, in ogni punto $(x,y)$ del piano, il gradiente punta direttamente "verso l'esterno" rispetto all'origine. La funzione cresce più rapidamente in direzione radiale.

Ad esempio, nel punto $(1,1)$, il gradiente è:

\[ \nabla f(1,1) = 2\vec{i} + 2\vec{j} \]

Il vettore $2\vec{i} + 2\vec{j}$ indica che la funzione aumenta più velocemente nella direzione che fa $45^\circ$ rispetto agli assi, cioè lungo la bisettrice del primo quadrante.