test di verificaDomanda
Nel punto A la derivata prima della funzione f(x) ...
immagine del test



1 / 8 domande



Vuoi visualizzarlo sul tuo sito?

Analisi e studio della funzione

Il calcolo infinitesimale consente di studiare l'andamento di una funzione reale al variare della variabile indipendente (x) e all'interno del dominio dei numeri reali (R).

Il campo di esistenza della funzione

Il primo passo dell'analisi della funzione è la determinazione del campo di esistenza ( o dominio ) della funzione.

Come determinare il dominio della funzione

Si individua l'intervallo dei valori ( a, b ) della variabile indipendente (x) in cui la funzione y=f(x) ha significato e restituisce un risultato.

Esempio. La funzione 1/x è definita su tutto il campo di variazione dei numeri reali ad eccezione di x=0 perché nessun numero è divisibile per zero. Gli estremi del dominio sono +∞ e -∞.
il campo di esistenza della funzione reale

Una volta individuato il campo di esistenza della funzione, si possono calcolare i limiti agli estremi e nei punti in cui la funzione è indefinita.

I limiti agli estremi del dominio

Lo studio del limite agli estremi del campo di esistenza consente di comprendere l'andamento della funzione.

Esempio. Gli estremi del campo di esistenza della funzione reale f(x)=1/x sono +∞ e -∞. Il limite della funzione per x tendente a +∞ è 0. Il limite della funzione per x tendente a -∞ è 0.
ESEMPIO il limite della funzione 1/x agli estremi

Il limite agli estremi può essere:

  1. Un numero finito. Se il limite a un estremo della funzione è un numero finito l, la funzione tende al numero l.
    il limite della funzione per infinito verso un numero finito

    Nota. Se l'estremo è +∞ o -∞ e il limite è un numero finito l allora si tratta di un asintoto orizzontale. Una funzione può avere al massimo due asintoti orizzontali per x→∞ e x→-∞.
    esempio di asintoto orizzontale

  2. Infinito. Se il limite a un estremo della funzione è +∞ o - ∞, la funzione f(x) tende rispettivamente a +∞ o -∞ a quell'estremo.
    il limite della funzione verso infinito tende a infinito

    Nota. Se l'estremo è +∞ o -∞ ed esiste il limite finito del rapporto f(x)/x=m e f(x)-mx=q, allora la funzione tende a un asintoto obliquo determinato dalla retta y=mx+q.
    il calcolo dell'asintoto obliquo della funzione per x tendente a infinito

Il limite nei punti indefiniti della funzione

Se la funzione presenta dei punti c in cui è indefinita, Il limite per x→c consente di trovare eventuali asintoti verticali.

il limite della funzione verso il punto in cui è indefinita la funzione

Una funzione può avere uno, nessuno o molti asintoti verticali.

Esempio. La funzione 1(1-x) è indefinita in x=1. Calcolando il limite destro per x→1+ la funzione tende a -∞ e si individua un asintoto verticale negativo in x=1. Calcolando il limite sinistro per x→1- la funzione tende a +∞ e si individua così un asintoto verticale positivo in x=1.
esempio di asintoto verticale di una funzione

Lo studio del segno della funzione

Lo studio del segno della funzione si ottiene risolvendo la disequazione f(x)>0.

Con l'analisi del segno della disequazione si individuano gli intervalli in cui la funzione è positiva e quelli in cui è negativa o nulla.

Esempio. Lo studio del segno della funzione f(x)=1/(1+x) individua l'intervallo (-1, +∞) in cui f(x)>0.
lo studio del segno della funzione

Le intersezioni con gli assi

Un'altra informazione utile per costruire il grafico della funzione sono le intersezioni con gli assi del diagramma cartesiano.

L'intersezione con le ordinate (y)

Per trovare l'intersezione con l'asse delle ordinate (y) si pone a zero la variabile indipendente della funzione (x=0).

procedimento per trovare l'intercetta y della funzione f(x)

In questo modo si trova il valore corrispondente della variabile dipendente (y) quando x=0.

Esempio. La funzione f(x)=(2-x) ha un intercetta con l'asse delle ordinate alle coordinate ( 0, 2 ). Sostituendo il valore 0 alla variabile x si calcola il valore corrispondente della variabile y.
esempio di calcolo dell'intercetta y di una funzione

L'intersezione con le ascisse (x)

Per trovare l'intersezione con l'asse delle ascisse (x) si pone a zero la funzione f(x)=0 e si risolve l'equazione.

il procedimento di calcolo dell'intercetta x

In questo modo si trova il valore corrispondente della variabile indipendente (x) quando y=0.

Esempio. La funzione f(x)=(2-x) ha un intercetta con l'asse delle ascisse alle coordinate ( 2, 0 ). Risolvendo l'equazione 2-x=0 si calcola il valore corrispondente della variabile y ossia x=2.
un esempio di calcolo dell'intercetta x

L'analisi della funzione con le derivate

La derivata di una funzione consente l'analisi e lo studio di una funzione. In particolar modo, la derivata prima permette di stabilire la crescenza o la decrescenza.

l'analisi della funzione con la derivata prima e seconda

La derivata seconda, invece, consente di riconoscere la concavità e la convessità delle curve, i tratti rettilinei, i punti di massimo e di minimo, i flessi.

L'analisi della crescenza e della decrescenza

L'analisi della funzione derivata prima di una funzione f(x) consente di affermare se la funzione f(x) sta crescendo o decrescendo in un punto X, oppure è invariata.

  1. Se la derivata prima f'(x) è positiva nel punto x, la funzione f(x) sta crescendo in x.
    la funzione derivata prima di una funzione crescente
  2. Se la derivata prima f'(x) è negativa nel punto x, la funzione f(x) sta decrescendo in x.
    un esempio di decrescenza e di derivata prima negativa della funzione
  3. Se la derivata prima f'(x) è uguale a zero nel punto x, la funzione f(x) è invariata in x.
    esempio di derivata prima nulla per trovare il minimo, massimo o il flesso della funzione

Minimo, massimo o flesso. I casi in cui la derivata è nulla sono detti punti stazionari e indicano che nel punto si sta verificando un punto di minimo, massimo, oppure un flesso.
i punti di massimo, minimo, flesso quando la derivata prima è nulla

I punti di massimo, minimo e i flessi

Per individuare i punti di minimo, massimo e i flessi si studia l'intorno della derivata prima intorno ai punti stazionari.

Cos'è un punto stazionario? È un punto della funzione dove la derivata prima si annulla.

  1. Massimo. Se l'intorno della derivata prima del punto X è positivo a sinistra e negativo a destra.
  2. Minimo. Se l'intorno della derivata prima del punto X è negativo a sinistra e positivo a destra.
  3. Flesso ascendente. Se l'intorno della derivata prima del punto X è positivo a sinistra e a destra.
  4. Flesso discendente. Se l'intorno della derivata prima del punto X è negativo a sinistra e a destra.

Derivata seconda: concavità, convessità

Lo studio della derivata seconda di una funzione f(x) consente di affermare se la funzione f(x) è convessa, concava o rettilinea nel punto X.

Cos'è la derivata seconda? La derivata seconda f"(x) è la derivata di una funzione derivata prima f'(x). Pertanto, è due volte la derivata della funzione originaria f(x).

  1. Se la derivata seconda f"(x) è positiva nel punto x, la funzione f(x) è convessa in x.
    esempio di convessità individuata tramite la derivata seconda

    Quando una curva è convessa? Una curva è convessa se dati due punti qualsiasi della curva, la retta che li congiunge è sempre al di sopra della curva. La convessità può essere definita anche come una concavità verso il basso.

  2. Se la derivata seconda f''(x) è negativa nel punto x, la funzione f(x) è concava in x.
    un esempio di funzione concava individuata tramite la derivata seconda negativa

    Quando una funzione si dice concava? Una curva è concava se dati due punti qualsiasi la retta che li congiunge è sempre al dì sotto della curva. In questo caso la concavità è rivolta verso l'alto.

  3. Se la derivata seconda f"(x) è nulla nel punto x, la funzione f(x) è rettilinea nel punto X, ha un flesso ascendente o discendente nel punto X oppure un massimo/minimo relativo.
    esempio di punto di flesso con derivata seconda uguale a zero

    Minimo, massimo o flesso. Se la derivata seconda è diversa da zero, il punto X è un massimo o minimo relativo. È un massimo relativo se è la derivata seconda è minore di zero oppure è un minimo relativo se è maggiore di zero. Se la derivata seconda è nulla, il punto X potrebbe essere un flesso ascendente o discendente oppure un punto di massimo o minimo relativo. Per capirlo occorre studiare il segno della funzione derivata seconda intorno a X oppure calcolare la derivata terza.
    l'individuazione dei punti di massimo, minimo e flesso tramite la derivata seconda

https://www.okpedia.it/studio-della-funzione-derivata


Segnala un errore o invia un suggerimento per migliorare la pagina


Analisi e studio della funzione