Lo studio del segno delle disequazioni

Lo studio del segno di una disequazione consente di risolvere la disequazione senza dover svolgere tutti i passaggi algebrici. Lo studio del segno può essere applicato quando la disequazione numerica è caratterizzata dal prodotto e/o dalla divisione degli elementi. Una disequazione può essere analizzata mediante lo studio del segno dei singoli elementi facendo variare l'incognita x da -∞ a +∞.

Come risolvere una disequazione con lo studio del segno

Nel seguente esempio viene mostrato come risolvere una disequazione tramite lo studio del segno. La seguente disequazione è composta dal prodotto di due binomi ( x + 1 ) e ( x - 2 ). In questo caso è possibile studiare il segno dei due fattori presi singolarmente e comprendere quando il loro prodotto soddisfa la disequazione.

Per risolvere lo studio del segno è necessario analizzare singolarmente il segno dei due binomi ( x+1 ) e ( x-2 ) al variare della variabile incognita x. Il primo binomio ( x+1 ) si azzera quando x=-1 ed è positivo quando x>-1. Il secondo binomio ( x - 2 ) si annulla quando x=2 ed è positivo quando x>2.

Lo studio del segno dei singoli fattori può essere rappresentato sul piano, tracciando una retta orientata per indicare i valori della variabile incognita x da -∞ a +∞.

Nella parte sottostante alla retta scriviamo, su due righe diverse, i due binomi della disequazione. In ogni riga viene trascritto un cerchio in corrispondenza esatta del valore di x in cui si annulla il binomio. Nel nostro esempio possiamo trascrivere un cerchio in corrispondenza di x=-1 sulla riga ( x+1 ) e un altro in corrispondenza di x=2 sulla riga ( x-2 ). In corrispondenza di cerchio ( zero ) si traccia un segmento verticale.

Nel passo successivo, su ciascuna riga scriviamo il segno più "+" negli intervalli in cui il binomio è maggiore di zero e il segno meno "-" dove è minore di zero. L'operazione va eseguita in ogni intervallo di valori e su entrambe le righe della rappresentazione grafica.

Dopo aver trascritto sul piano lo studio del segno di ciascun binomio, si traccia più in basso un'ulteriore riga orizzontale per rappresentare la disequazione. Nei punti in cui almeno uno dei binomi si annulla, ossia è pari a zero, si trascrive il simbolo zero anche sull'ultima riga, in quanto qualsiasi moltiplicazione per zero restituisce come prodotto zero.

Applicando la regola dei segni della moltiplicazione per ciascun intervallo è possibile analizzare il segno della disequazione, riportando il relativo segno nella parte più in basso. Ad esempio, nell'intervallo tra -∞ e -1 ) è presente il simbolo "-" sia sulla riga ( x+1 ) che sulla riga ( x-2 ). Sapendo che il prodotto algebrico tra due numeri con segno negativo "-" è un prodotto con segno positivo "+", possiamo scrivere il simbolo "+" sull'ultima riga in corrispondenza dell'intervallo ] -∞, -1 [. Lo stesso confronto va ripetuto su tutti gli intervalli della rappresentazione grafica.

Quando x è minore di -1 entrambi i binomi della disequazione sono negativi, pertanto il loro prodotto è positivo e la disequazione è soddisfatta. Nell'intervallo [-1, 2] soltanto un binomio è positivo mentre l'altro è negativo, in questo caso il prodotto della disequazione è negativo. Quando x è maggiore di 2 entrambi i binomi sono positivi e, pertanto, il loro prodotto è positivo. In quest'ultimo tratto la disequazione è soddisfatta. In conclusione, la disequazione è soddisfatta quando x<-1 o x>2.

x < -1 ∨ x > 2

Lo studio del segno ha consentito di risolvere la disequazione senza aver svolto alcun passaggio algebrico.

Nella rappresentazione grafica degli intervalli si utilizza un cerchio pieno se l'estremo dell'intervallo è compreso nella soluzione o un cerchio vuoto se non è compreso. Ad esempio, nell'esempio precedente gli estremi ( x=-1 e x=2 ) non sono inclusi nella soluzione e, pertanto, sono rappresentati da due cerchi vuoti.

Rappresentazione grafica. Lo studio del segno può essere analizzato con diverse rappresentazioni. Oltre alla rappresentazione precedente, basata sulla presenza del segno più o del segno meno, è possibile indicare gli intervalli mediante una retta ( cd rappresentazione grafica ). La presenza della retta nera indica gli intervalli in cui il valore è positivo, quelli in bianco i valori negativi. Nella rappresentazione grafica degli intervalli si utilizza un cerchio pieno se l'estremo dell'intervallo è compreso nella soluzione o un cerchio vuoto se non è compreso. Ad esempio, nell'esempio precedente gli estremi ( x=-1 e x=2 ) non sono inclusi nella soluzione e, pertanto, sono rappresentati da due cerchi vuoti.

Rappresentazione formale. Nella rappresentazione formale ci si limita a indicare gli intervalli in cui il valore soddisfa la disequazione. Nell'esempio precedente possiamo scrivere la soluzione nella seguente forma: x ∈ ] -∞; -1 [ U ] 2; +∞ [. È opportuno ricordare che la parentesi quadra dell'intervallo è orientata verso l'esterno, come nel nostro caso, quando l'estremo non è compreso nella soluzione. E', invece, orientata verso l'interno se l'estremo è compreso nella soluzione.