Derivate Parziali

La derivata parziale misura come cambia una funzione di più variabili rispetto a una sola variabile, mantenendo fisse tutte le altre. Si definisce come il limite del rapporto incrementale rispetto a una singola variabile.

Definizione Formale

Se \( f(x_1, x_2, \dots, x_n) \) è una funzione di \( n \) variabili reali, la derivata parziale rispetto alla variabile \( x_k \) è: \[
\frac{\partial f}{\partial x_k} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_1, \dots, x_k+h, \dots, x_n) - f(x_1, \dots, x_k, \dots, x_n)}{h} \]

In genere, per indicare una derivata parziale si utilizzano le seguenti notazioni: \( \frac{\partial f}{\partial x_k} \), \( f_{x_k} \), \( D_{x_k}f \) Sono equivalenti e si usano a seconda del contesto.

Le regole di derivazione sono le stesse della derivata ordinaria (es. somma, prodotto, catena).

L’esistenza delle derivate parziali non implica la continuità della funzione, né la sua differenziabilità.

Esempio

Consideriamo la funzione:

\[ f(x,y) = \sin(xy) + x^2y \]

Per calcolare la derivata parziale rispetto a \( x \), applichiamo le regole di derivazione considerando le altre variabili come costanti. Quindi, \( y \) è considerata costante.

\[ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(\sin(xy)) + \frac{\partial}{\partial x}(x^2y) \]

Deriviamo ciascun termine:

• La derivata di \( \sin(xy) \) rispetto a \( x \) è \( \cos(xy) \cdot y \) (regola della catena).
• La derivata di \( x^2y \) rispetto a \( x \) è \( 2xy \) (considero \( y \) come costante).

Quindi, la derivata parziale rispetto a \( x \) è:

\[ \frac{\partial f}{\partial x} = \cos(xy) \cdot y + 2xy \]

Per calcolare la derivata parziale rispetto a \( y \) usiamo lo stesso criterio. In questo caso \( x \) è considerata costante.

\[ \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(\sin(xy)) + \frac{\partial}{\partial y}(x^2y) \]

Calcolo ogni derivata:

• La derivata di \( \sin(xy) \) rispetto a \( y \) è \( \cos(xy) \cdot x \) (sempre regola della catena).
• La derivata di \( x^2y \) rispetto a \( y \) è \( x^2 \) (stavolta \( x^2 \) è costante).

Quindi, la derivata parziale rispetto a \( y \) è:

\[ \frac{\partial f}{\partial y} = \cos(xy) \cdot x + x^2 \]

Lo stesso procedimento si applica a qualsiasi funzione di $ n $ variabili. Ogni funzione di $ n $ variabili può avere al massimo $ n $ derivate parziali.

Derivate parziali di ordine superiore

Applicando più volte la derivazione si ottengono le derivate seconde (o di ordine superiore):

\[ \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_k} \]

Le derivate parziali di ordine superiore sono dette:

• Derivate pure: si derivano più volte rispetto alla stessa variabile (es. \( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \)).
• Derivate miste: si derivano rispetto a variabili diverse (es. \( \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \)).

Anche in questo caso esistono diverse notazioni alternative per indicare le derivate miste: \( D^2_{x_i x_k} f \), \( f_{x_k x_i} \), ecc.

Le derivate di ordine superiore permettono di analizzare curvature e comportamenti più complessi.

Esempio

Consideriamo la funzione:

\[ f(x,y) = x^2y + 3xy^2 \]

Derivate pure

Le derivate pure sono quelle calcolate due volte rispetto alla stessa variabile.

• La derivata pura rispetto a \( x \), si ottiene derivando due volte rispetto alla variabile \( x \): \[ \frac{\partial f}{\partial x} = 2xy + 3y^2 \] \[ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 2y \]
• La derivata pura rispetto a \( y \), si ottiene derivando due volte rispetto alla variabile \( y \): \[ \frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 6xy \] \[ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 6x \]

Derivate miste

Le derivate miste sono quelle calcolate prima rispetto a una variabile e poi rispetto a un’altra.

• Derivata prima rispetto a \( x \), poi a \( y \). Prima deriviamo rispetto a \( x \): \[ \frac{\partial f}{\partial x} = 2xy + 3y^2 \] Poi deriviamo rispetto a \( y \): \[ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = 2x + 6y \]
• Derivata prima rispetto a \( y \), poi a \( x \). Prima deriviamo rispetto a \( y \): \[ \frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 6xy \] Poi deriviamo rispetto a \( x \): \[
  \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 2x + 6y \]

In questo caso \( \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \), confermando il Teorema di Schwarz, perché le derivate seconde sono continue.

Teorema di Schwarz. Se tutte le derivate seconde miste sono continue in un intorno del punto, allora: \[ \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_k} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_k \partial x_i} \] Di conseguenza, cambiando l'ordine di derivazione delle derivate parziali seconde, si ottiene lo stesso risultato se sono continue.