Derivate complesse

Per derivare le funzioni complesse si utilizzano delle regole di derivazione che semplificano il calcolo dette "algebra delle derivate".

Cos'è una derivata complessa? Una derivata è detta complessa quando è composta da due funzioni f(x) e g(x) o dal prodotto tra una costante k e una funzione.

Le regole di derivazione sono classificate in base all'operazione algebrica tra le due funzioni ( divisione, moltiplicazione, addizione, ecc. ).

La derivata del prodotto di una costante per una funzione

La derivata del prodotto di una costante k per una funzione f(x) è uguale al prodotto della costante k per la derivata di f(x).

la derivata della moltiplicazione tra una costante k e una funzione f(x)

In questo caso la costante non si calcola la derivata della costante ma soltanto della funzione.

Esempio
un esempio pratico di derivata del prodotto di una costante per una funzione

La derivata della somma di due funzioni

La derivata della somma di due funzioni f(x)+g(x) è uguale alla somma delle derivate delle due funzioni f'(x)+g'(x).

la derivata della somma di due funzioni

In questa regola di derivazione le funzioni sono derivate come funzioni semplici. La stessa regola si applica nella sottrazione di due funzioni.

Esempio
esempio di derivata di due funzioni

La derivata del prodotto di due funzioni

La derivata del prodotto di due funzioni [f(x)·g(x)] è uguale alla somma della derivata della prima funzione moltiplicata per la seconda funzione f'(x)·g(x) e della derivata della seconda funzione moltiplicata per la prima funzione f(x)·g'(x).

la derivata del prodotto di due funzioni

Esempio
esempio di derivata della moltiplicazione di due funzioni

Nel caso di una moltiplicazione tra una funzione e una costante k·f(x), uno dei due membri si annulla perché la derivata di una costante è uguale a zero. Questo spiega la prima regola di derivazione.

La derivata del rapporto tra due funzioni

La derivata del rapporto tra due funzioni f(x)/g(x) è uguale alla seguente formula:

la derivata del rapporto tra due funzioni

Esempio
un esercizio in cui si  calcola la derivata della divisione di due funzioni

La derivata della funzione composta

Una funzione composta è una funzione di funzione. La derivata della funzione composta f(g(x)) è uguale al prodotto delle derivate delle funzioni f'(x)·g'(x).

la derivata di una funzione composta

Esempio
un esempio di funzione composta

La derivata di un polinomio

La regola di derivazione di un polinomio è la seguente:

la derivata di una funzione polinomio

Esempioesempio di derivata di una funzione polinomio

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Le derivate

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