A cosa serve la derivata

Lo studio della derivata di una funzione nasce inizialmente per risolvere problemi geometrici, ossia per trovare l'inclinazione della retta tangente in un punto di una curva. Tuttavia, le applicazioni sono molteplici.

un esempio di derivata prima

Oggi le derivate sono utilizzate praticamente in discipline di ogni campo del sapere, come strumento di indagine per studiare le caratteristiche delle funzioni.

Quali informazioni si ottengono dalla derivata di una funzione?

Lo studio della derivata di una funzione consente di trovare le seguenti informazioni sulla funzione:

  • crescenza
  • decrescenza
  • concavità
  • convessità
  • asintoti
  • flessi ( crescenti o decrescenti )
  • punti di massimo
  • punti di minimo

Esempio. Il calcolo della derivata di una funzione è usato in fisica per calcolare l'accelerazione istantanea di un corpo, in economia per studiare il prodotto marginale di una funzione di produzione, in statistica per calcolare il tasso di crescita demografico di una popolazione e così via.

Un esempio pratico di derivata

Un'automobile percorre 100 km in un'ora dal punto A al punto B.

un veicolo percorre un tratto di strada ( spazio ) in un'ora ( tempo )

E' quindi possibile affermare che la velocità media del veicolo è pari a 100 km ogni 60 minuti.

la velocità media del veicolo

Tuttavia, durante il tragitto il veicolo ha cambiato più volte la velocità. A volte ha rallentato, altre volte ha accelerato.

Dalla velocità media non possiamo capire se il veicolo sta accelerando o rallentando in un particolare istante t1.

Per conoscere l'accelerazione del veicolo nell'istante t1 si ricorre alla derivata prima della funzione del moto V(t).

la funzione delle velocità istantanee del veicolo in un'ora

Nella funzione del moto V(t) sono registrate tutte le velocità istantanee del veicolo nel tempo, minuto dopo minuto.

Un esempio di accelerazione

La derivata prima della funzione V(t) permette di capire se il veicolo sta accelerando o decelerando in quel preciso momento.

la derivata prima della funzione del moto v(x)

In questo caso, nell'istante t1 la funzione derivata V' ha un'inclinazione positiva ossia sta crescendo.

Questo ci permette di capire che in quel momento il veicolo sta accelerando.

Un esempio di decelerazione

Nell'istante t2 la funzione derivata V' è inclinata negativamente. Il coefficiente angolare è negativo.

In quest'altro caso si deduce che il veicolo sta decelerando.

nell'istante t2 il veicolo sta rallentand

Sia nell'istante t1 che t2 il veicolo ha la stessa velocità istantanea ( 110 km/h ).

Grazie alla derivata prima della funzione V(t) è possibile capire che nell'istante t1 il veicolo sta accelerando mentre nell'istante t2 sta rallentando.

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