Teorema
La definizione di teorema
Il teorema è una proposizione la cui verità deve essere dimostrata per deduzione a partire da un insieme di premesse ( assiomi o altri teoremi ), seguendo le regole della logica matematica.
I teoremi sono utilizzati nella logica e nella matematica.
Nota. Il teorema è un concetto relativo in quanto assume un significato soltanto in relazione a un determinato sistema assiomatico, quello tramite il quale il teorema stesso viene dimostrato.
La dimostrazione del teorema
La dimostrazione è una sequenza di deduzioni che a partire dalle affermazioni considerate vere ( ipotesi ), giunge a una nuova affermazione ( tesi ).
Il processo logico della dimostrazione è "Se [ipotesi] allora [tesi]".
Nota. La dimostrazione di un teorema è sempre necessaria. La sola osservazione non è sufficiente ad affermare una verità anche se appare ovvia. E' necessario un ragionamento valido in generale
Esempio
Se un triangolo è isoscele (ipotesi) allora il triangolo ha due angoli congruenti (tesi).
Il teorema inverso ( o reciproco )
Il teorema inverso è la dimostrazione della proposizione inversa di un teorema, in cui tesi e ipotesi sono scambiate tra loro.
Esempio
Se un triangolo ha due angoli congruenti (ipotesi) allora è un triangolo isoscele (tesi).
Nota. L'esistenza del teorema opposto non è certa. Alcuni teoremi hanno un teorema opposto mentre altri no. La validità del teorema opposto deve essere comunque dimostrata.
Il corollario
Un corollario è un enunciato direttamente conseguente da un altro teorema detto teorema antecedente.
Se è vero il teorema 1 ( teorema antecedente ) allora è vero anche il corollario ( teorema 2 ).
I corollari sono enunciati intorno a un teorema principale come una corolla floreale. Da questo deriva il termine corollario.
Nota. In genere il secondo enunciato è detto soltanto corollario, mentre il termine "teorema" è riservato all'enunciato antecedente.
L'origine e il significato del termine "teorema"
Il termine teorema, etimologicamente parlando, è un termine di derivazione greca che sta a significare cosa che si guarda o si scorge, su cui si specula.
Sul piano etimologico il termine "teorema" si avvicina a teoria.
FAQ
- Cos'è un teorema in matematica?
In matematica il teorema è un enunciato che viene dimostrato nell'ambito di una teoria formale. È presentato come risultato importante in un'esposizione sistematica di una teoria. Pertanto, nella matematica un teorema è un'implicazione logica tra due predicati. - Cos'è un teorema nella logica del primo ordine?
Nella logica del primo ordine il teorema è una conseguenza logica a partire da un determinato insieme di assiomi di riferimento. - Qual è la differenza tra teorema e congettura?
I teoremi e le congetture sono entrambe affermazioni ma si distinguono sulla qualità delle prove
- Le congetture sono affermazioni dimostrabili soltanto sulla base di una prova che non copre tutta la casistica possibile. Quando un'affermazione non è dimostrabile in modo interamente soddisfacente su tutti i casi possibili della realtà allora non si parla di teorema ma di congettura.
- I teoremi sono affermazioni che possono essere dimostrate in modo interamente soddisfacente su tutta la casisista di una realtà, a partire da un insieme assiomatico di riferimento
- Qual è la differenza tra teorema e postulato?
I teoremi e i postulati sono entrambi enunciati ma si distinguono nella presenza o meno della dimostrazione.- I teoremi sono enunciati la cui verità per essere valida e accettata deve essere dimostrata.
- I postulati sono enunciati la cui verità è accettata senza dimostrazione.
- Qual è la differenza tra teorema e corollario?
I teoremi e i corollari sono entrambi enunciati dimostrati ma si distinguono per l'ipotesi.- I teoremi sono enunciati dimostrati a partire da ipotesi di partenza ( assiomi )
- I corollari sono enunciati direttamente conseguenti da un altro teorema detto antecedente.
