Limiti infiniti
Si parla di limiti infiniti quando x0 o l hanno valore infinito. In particolar modo è detto limite infinito quando l è uguale a infinito.
Si dice invece limite per x tendente a infinito quando x→∞.
Esempio. Se l'intorno (a, b) di X0 ha il valore +∞ come estremo superiore dell'intervallo, allora è un insieme aperto a destra ( a , +∞ ). In questo caso si calcola il limite per x tendente a più infinito.
Se l'intorno (a, b) di X0 assume il valore -∞ nell'estremo inferiore dell'intervallo, allora è un insieme aperto a sinistra ( -∞, b ). In questo caso si calcola il limite per x tendente a meno infinito.
Esempio di limite per x tendente a infinito
La seguente funzione esiste nell'intervallo ( -∞, +∞ ) dei numeri reali R.
Pertanto, non esiste un estremo inferiore o superiore definito.
In questi casi è necessario calcolare il limite per meno infinito e più infinito.
Si scopre così che la funzione tende a zero (0) in entrambi gli estremi, sia per x tendente a meno infinito (-∞) e sia per x tendente a più infinito (+∞).
Nota. Quando un limite per x tendente a infinito converge a un numero diverso da infinito si parla di asintoto orizzontale.
Esempio di limite infinito
Il limite stesso può assumere un valore infinito.
La seguente funzione non è definita quando x=0.
Per conoscere l'andamento della funzione nel punto x=0, calcoliamo il limite destro e sinistro della f(x) per x tendente zero.
In questo modo scopriamo che la funzione è uguale a meno infinito (-∞) per x che tende a zero da sinistra ( limite sinistro ) ed è uguale a meno infinito (+∞) per x che tende a zero da destra ( limite destro).
Nota. I limiti infiniti di una funzione individuano gli asintoti verticali nella rappresentazione grafica della funzione.
