Infiniti

Si dice infinito per x→c il limite di una funzione f(x) che tende a più o meno infinito ( ±∞ ), dove c può essere un numero finito o infinito.

Esempio. La seguente funzione è un esempio di infinito perché il limite della funzione tende a infinito per x→0.

Gli infiniti simultanei

Gli infiniti simultanei sono due o più funzioni f(x), g(x), ... , z(x) che tendono a infinito per lo stesso valore x→c.

A cosa servono gli infiniti?

Nel calcolo infinitesimale il confronto tra due infiniti permette di calcolare i limiti delle funzioni più velocemente.

Esempio. Il limite del prodotto di due infiniti simultanei f(x)·g(x) è determinato dal fattore che tende a infinito più velocemente rispetto all'altro.

Analizzando il grafico delle due funzioni f(x) e g(x) è ben evidente che (x-1)² tenda a infinito più velocemente rispetto a (x-1) per x→∞.

Il confronto tra infiniti

Per confrontare due infiniti si analizza il limite del rapporto tra le due funzioni f(x)/g(x).

Nota. Nel confronto si presuppone che esista un intorno I di c tale che g(x)≠0 per ogni x∈I e x≠c.

Il risultato del confronto può essere uno dei seguenti casi:

• Infinito di ordine superiore. La funzione f(x) è un infinito di ordine superiore quando il limite del rapporto f(x) / g(x) per x→c è uguale a più o meno infinito. La funzione f(x) tende a infinito più velocemente rispetto a g(x).
  

  Nota. Se la funzione f(x) è un infinito di ordine superiore rispetto a g(x) allora la funzione g(x) è un infinito di ordine inferiore rispetto a g(x).

• Infinito dello stesso ordine. Le funzioni f(x) e g(x) sono dette infiniti dello stesso ordine quando il limite del rapporto f(x) / g(x) per x→c è uguale a un numero l finito e diverso da zero. Le due funzioni tendono a infinito con la stessa rapidità.
  
• Infinito di ordine inferiore. La funzione f(x) è un infinito di ordine inferiore quando il limite del rapporto f(x) / g(x) per x→c è uguale a zero. La funzione f(x) tende a infinito più lentamente rispetto a g(x).
  

  Nota. Se la funzione f(x) è un infinito di ordine inferiore rispetto a g(x) allora la funzione g(x) è un infinito di ordine superiore rispetto a g(x).

• Infiniti non confrontabili. Le funzioni f(x) e g(x) sono dette infiniti non confrontabili se non esiste il limite del rapporto f(x) / g(x) per x→c.
  

Esempi di infiniti simultanei

Nel seguente rapporto (x-1)² è un infinito di ordine superiore rispetto a (x-1) per x→∞.

Allo stesso modo si può dimostrare che (x-1) è un infinito di ordine inferiore rispetto a (x-1)² per x→∞.

Nel caso delle funzioni 5x e 100x, invece, si tratta di due infiniti dello stesso ordine per x→∞.