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Quante sono le permutazioni dell'insieme A?
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Permutazioni

Le permutazioni sono disposizioni senza ripetizione di n elementi in n posizioni, tali che i raggruppamenti differiscano tra loro soltanto per l'ordine degli elementi.

formula delle permutazioni semplici

Nota. La permutazione di tutti gli n elementi senza ripetizione è uguale al n-fattoriale ( n! ).

Un esempio pratico

L'insieme A è composto da quattro elementi (n=4).

un insieme composto da quattro elementi

Per conoscere tutte le permutazioni dell'insieme si utilizza la formula seguente:

formula delle permutazioni semplici

In questo caso n=4.

un esempio di permutazioni semplici

Pertanto, sono possibili ventiquattro permutazioni semplici.

i raggruppamenti della permutazione

Nota. Le sequenze si distinguono tra loro soltanto per la posizione degli elementi. Inoltre, le sequenze sono composte da tutti gli elementi dell'insieme { 1,2,3,4 }. Ogni elemento compare una sola volta nelle sequenze.

La differenza tra permutazioni e disposizioni

In una permutazione si prendono in considerazioni tutti gli n elementi dell'insieme.

Nella disposizione senza ripetizione, invece, si possono anche raggruppare k su n elementi dell'insieme ( dove k≤n ).

Nota. La permutazione coincide con la disposizione senza ripetizione soltanto in un caso ossia quando k=n.

Infine, in una disposizione con ripetizioni uno stesso elemento può essere ripetuto più volte in diverse posizioni del raggruppamento.

Le permutazioni con ripetizione

Può accadere che un insieme contenga due o più elementi uguali.

In questo caso alcune sequenze delle permutazioni sono uguali.

in questo esempio le sequenze sono uguali

Per calcolare il numero effettivo delle permutazioni, senza le ripetizioni, si ulizza la seguente formula:

la formula delle permutazioni con ripetizione

Dove n1! è il fattoriale del numero di elementi di una tipologia ( es. palline rosse ) e n2! è il fattoriale del numero di elementi dell'altro tipo ( es. palline blu ).

Esempio

Nell'esempio precedente ci sono 3 palline, di cui 2 rosse e 1 blu.

Le permutazioni sono sei ma ci sono tre sequenze identiche:

in questo esempio le sequenze sono uguali

Per calcolare le sequenze effettive si utilizza la formula delle permutazioni con ripetizione.

un esempio di permutazione con ripetizione

Il calcolo elimina le sequenze uguali.

Effettivamente, ci sono soltanto tre permutazioni diverse tra loro.

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