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Calcolo matrice inversa

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Matrice inversa

La definizione di matrice inversa

Sia A una matrice quadrata di ordine n. Se esiste, la matrice inversa A-1 è una matrice quadrata tale che A·A-1=I e A-1·A=I, dove I è la matrice identità di ordine.
la formula della matrice inversa

Se esiste la matrice inversa A-1, la matrice A è detta matrice invertibile o non singolare.

Viceversa, se non esiste la matrice inversa, la matrice A è detta non invertibile o singolare.

la classificazione delle matrici in matrici invertibili e matrici singolari

Nota. Se la matrice inversa di A esiste, allora la matrice inversa A-1 è unica.
unicità della matrice inversa

Come calcolare la matrice inversa

Una matrice quadrata è invertibile se il suo determinante è diverso da zero.

determinante diverso da zero

Se la matrice è invertibile, si può calcolare la sua matrice inversa tramite il teorema di Laplace.

La matrice inversa A-1 di una matrice quadrata A di ordine n con determinante diverso da zero è la trasposta della matrice dei complementi algebrici A'T divisa per il determinante |A|.
la formula del teorema di laplace della matrice inversa

Un esempio di calcolo

Data la matrice quadrata A di ordine 3

una matrice quadrata di esempio

Il determinante della matrice A è uguale a 2.

il determinante della matrice

Quindi, la matrice A è una matrice invertibile. Si può calcolare la matrice inversa.

Calcoliamo la matrice dei complementi algebrici A' ( o matrice dei cofattori ).

la matrice dei complementi algebrici

Poi calcoliamo la trasposta della matrice dei complementi algebrici.

la trasposta della matrice dei complementi algebrci

Dividendo la trasposta A'T per il determinante |A| si ottiene la matrice inversa di A.

il calcolo della matrice inversa

Pertanto, la matrice inversa A-1 è la seguente:

la matrice inversa

Verifica. Per verificare il risultato, basta moltiplicare la matrice A per la matrice inversa A-1. Il prodotto A·A-1 è la matrice identità I ossia una matrice con gli elementi della diagonale uguali a 1 e tutti gli altri uguali a zero.
la verifica del calcolo della matrice inversa

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