Rendimenti di scala decrescenti
I rendimenti di scala decrescenti sono rendimenti di scala della produzione in cui l'incremento delle quantità dei fattori produttivi genera un incremento meno che proporzionale della quantità della produzione. Data una funzione di produzione a due fattori y = f ( x1, x2 ), l'incremento della quantità del fattore produttivo Δ x1 / x1 genera l'incremento della produzione Δ y / y in modo tale che Δ y / y < Δ x1 / x1 .Ad esempio, l'incremento del 10% della quantità impiegata del fattore produttivo x1 determina l'aumento del 5% della quantità del prodotto finale y. Nel caso dei rendimenti di scala decrescenti la funzione di produzione è rappresentata sul diagramma cartesiano nel seguente modo:
Dal punto di vista matematico la derivata prima della funzione di produzione con rendimenti di scala decrescenti y' è positiva ( y' > 0 ) in quanto aumentando l'impiego del fattore produttivo ( Δx1 > 0 ) si ottiene comunque un incremento positivo della produzione ( Δ y > 0 ). La derivata seconda della funzione di produzione y" è, invece, negativa ( y" < 0 ) in quanto l'incremento della produzione ( Δ y / y ) è meno che proporzionale rispetto all'incremento quantitativo del fattore produttivo ( Δx1 / x1 ). Prendendo in considerazione entrambi i fattori produttivi x1 e x2 possiamo formulare il rendimento decrescente della funzione di produzione y = f ( x1, x2 ) sotto forma di una funzione omogenea di grado k inferiore a uno.
f ( t · x1, t · x2 ) < t · f ( x1, x2 )
La funzione di produzione con rendimenti decrescenti è una funzione omogenea con grado di omogeneità k<1 in quanto moltiplicando tutte le variabili indipendenti x1 e x2 ( fattori produttivi ) per una costante t, la variabile dipendente y ( produzione ) della funzione di produzione risulta moltiplicata a un parametro tk dove tk < t.
f ( t · x1, t · x2 ) = tk f ( x1, x2 )
Nel caso dei rendimenti di scala decrescenti per avere la condizione tk < t l'esponente k della costante t deve necessariamente essere inferiore a uno ( k < 1 ).
