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Il seno e il coseno

Il seno e il coseno sono due funzioni trigonometriche.

Cosa misurano?

Misurano la lunghezza dei segmenti tracciati da un angolo all'interno di una circonferenza goniometrica.

un esempio di seno e coseno

Dato un angolo α qualsiasi è possibile tracciare un triangolo rettangolo inscritto alla circonferenza goniometrica.

Il seno

Il seno è il rapporto tra il cateto ( AB ) opposto all'angolo α e l'ipotenusa ( OB ).

il seno è il cateto opposto all'angolo nel triangolo inscritto

Nota. In una circonferenza goniometrica il raggio è uguale a uno (1). Pertanto, l'ipotenusa OB è uguale a uno e il seno identifica la lunghezza del segmento AB.

La formula del seno è scritta nel seguente modo:

la formula del seno

Quali valori assume il seno?

Il seno varia da 0 a +1.

  1. Il seno è uguale a 0 quando l'angolo α è 0° o 180°.
  2. Il seno è uguale a 1 quando l'angolo α è 90° o 270°.

la funzione seno nella circonferenza trigonometrica ( grafico animato della sinusoidale )

Il seno è un numero periodico di 360°

Se aggiungiamo al seno dell'angolo α un numero intero N di angoli giro ( 360° o 2π ), il valore del seno non cambia.

il seno è un numero periodico

Il valore sin α è sempre lo stesso. Indipendentemente dal numero N dei giri.

Nota. Nell'equazione l'angolo giro di 360° è espresso in radianti. Pertanto è .

Il coseno

Il coseno è il rapporto tra il cateto ( OA ) adiacente all'angolo α e l'ipotenusa ( OB ).

la funzione coseno

Nota. In una circonferenza goniometrica il raggio e l'ipotenusa sono uguali a uno (1). Pertanto, il coseno misura la lunghezza del segmento OA.

La formula del coseno è scritta nel seguente modo:

la formula del coseno

Quali valori assume il coseno?

Il coseno varia da 0 a +1.

  1. Il coseno è uguale a 1 quando l'angolo α è 0° o 180°.
  2. Il coseno è uguale a 0 quando l'angolo α è 90° o 270°.

la costruzione del grafico del coseno

Il coseno è un numero periodico di 360°

Aggiungendo al coseno di un angolo α un numero di angoli giro ( 360° o 2π ), il valore del coseno non varia.

il coseno è un numero periodico del periodo 360°

Il valore di cos α resta sempre lo stesso.

La relazione fondamentale della trigonometria

Le funzioni trigonometriche del seno e del coseno sono alla base della relazione fondamentale della trigonometria.

La somma dei quadrati del seno e del coseno è uguale a uno.

la relazione fondamentale della trigonometria

Questa relazione è la trasposizione del teorema di Pitagora.

Cosa afferma il teorema di Pitagora? La radice della somma dei quadrati dei cateti è uguale all'ipotenusa.

Il seno e il coseno misurano la lunghezza del triangolo inscritto nella circonferenza goniometrica.

L'ipotenusa è il raggio della circonferenza ed è uguale a uno per definizione.

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  1. La trigonometria
  2. La goniometria
  3. I radianti
  4. Il seno e coseno
  5. La tangente e la cotangente