Quadrato di un numero complesso

Per calcolare il quadrato di un numero complesso, bisogna eseguire il prodotto del numero complesso per se stesso.

Ad esempio, se consideriamo un numero complesso nella forma cartesiana \((a; b)\), dove $ a $ è la parte reale e $ b $ è la parte immaginaria, il quadrato si calcola come segue:

$$ (a; b)^2 = (a; b) \cdot (a; b) $$

Moltiplicando, otteniamo:

$$ (a; b)^2 = (aa - bb; ab + ab) $$

$$ (a; b)^2 = (a^2 - b^2; 2ab) $$

Per chi ha familiarità con la forma algebrica di un numero complesso, cioè z=a+bi, possiamo riscrivere il quadrato così:

$$ (a+bi)^2 = a^2 +2abi +(bi)^2 $$

Sapendo che i²=-1 abbiamo:

$$ (a+bi)^2 = a^2 -b^2 +2abi $$

In sintesi, il quadrato di un numero complesso (a;b) è un altro numero complesso, con parte reale a²−b² e parte immaginaria 2ab.

Casi particolari

Vediamo ora alcuni casi specifici:

• Quadrato di un numero complesso con parte immaginaria nulla, come (a; 0)
  Se b = 0, otteniamo (a; 0)² = (a²; 0), quindi il risultato è un numero reale, cioè a².

  Ad esempio, il quadrato del numero complesso (49;0) è 49 che è un numero reale $$ (7; 0)^2 = (49; 0) $$ Quindi, il quadrato di un numero complesso reale è un numero reale positivo.

• Quadrato di un numero complesso con parte reale nulla, come (0; b)
  Se a = 0, il quadrato diventa (0; b)² = (-b²; 0), quindi otteniamo un numero reale negativo.

  Ad esempio, il quadrato del numero complesso (0;2) è il numero reale -4. $$ (0; 2)^2 = (-4; 0) $$ Quindi, il quadrato di un numero immaginario puro è un numero reale negativo.

In generale, per un numero complesso reale puro \((a; 0)\), il quadrato è sempre un numero reale positivo, calcolato come \(a^2\).

Viceversa, per numero complesso immaginario puro \((0; b)\), il quadrato è sempre un numero reale negativo, calcolato come \(-b^2\).