Il rapporto tra polinomi con limite indeterminato

Nel caso del quoziente di due funzioni polinomio P(x) e Q(x), le forme di indecisione si affrontano in modo diverso.

Esempio. Un esempio di rapporto tra due polinomi.
esempio rapporto tra polinomi

Occorre distinguere tra due casi, il limite per x tendente a infinito e quello per x tendente a un numero reale c.

Soluzione 1

Se il limite per x tendente a infinito del rapporto tra due polinomi è una forma di indecisione infinito su infinito (∞/∞)

un esempio di forma di indecisione per x tendente a infinito

si raccolgono i termini preponderanti dei due polinomi sia al numeratore che al denominatore, rispettivamente x3 e x4.

i termini preponderanti dei polinomi

Poi si calcola il limite del rapporto tra i termini preponderanti.

il limite del rapporto tra i termini preponderanti

In questo modo, si può superare eventualmente la forma di indecisione (∞/∞) e calcolare il limite del rapporto tra polinomi.

Soluzione 2

Se il limite per x tendente al numero reale c del rapporto di due polinomi è una forma di indecisione zero su zero (0/0)

il limite del rapporto per x tendente a 1 è una forma indeterminata 0/0

Entrambi i polinomi sono uguali a zero per x=1.

Quindi, si può usare il teorema di Ruffini su entrambi i polinomi per raccogliere il fattore (x-c) ossia (x-1).

la scomposizione dei polinomi con la regola di Ruffini

Il fattore (x-1) compare sia al numeratore che al denominatore.

Quindi si può semplificare e ridurre il grado dei polinomi.

il limite della forma semplificata

Poi si calcola il limite del rapporto tra i due polinomi ridotti.

Il limite del rapporto P(x)/Q(x) per x tendente a 1 è uguale -1/8.

il grafico del rapporto tra polinomi

In questo modo si può eventualmente superare la forma di indecisione iniziale e calcolare il limite per x tendente a c.

Nota. In molti casi si deve ridurre i polinomi più volte fino a giungere a un limite determinato oppure a un rapporto di grado inferiore non ulteriormente semplificabile.

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Le forme indeterminate dei limiti

  1. Le forme di indecisione dei limiti
  2. Il rapporto tra polinomi con il limite indeterminato
  3. Il teorema del confronto dei limiti
  4. Il teorema di De L'Hôpital
  5. I limiti notevoli