Modello di Bertrand

Il modello di Bertrand è un modello economico di analisi dell'equilibrio di duopolio. Nel modello di Bertrand due imprese ( duopoliste ) offrono un bene omogeneo e sono dotate della medesima tecnologia e struttura dei costi. Le imprese adottano una strategia di concorrenza ( non cooperazione ) tramite la variazione del prezzo di vendita. Nel modello di Bertrand ogni impresa fissa il prezzo di vendita in modo strategico, tenendo conto del prezzo di vendita deciso dall'altra impresa. Trattandosi di un bene omogeneo, senza alcuna differenziazione di prodotto, i consumatori acquistano il prodotto al prezzo più basso. In tali circostanze, le due imprese duopoliste tendono a offrire il bene a un prezzo di vendita leggermente più basso rispetto all'altra, al fine di conquistare l'intera domanda di mercato. Nel seguente diagramma sono rappresentate le curve di reazione delle due imprese duopoliste nel modello di Bertrand.

Ogni impresa tende a ridurre il prezzo di vendita del bene a un livello appena inferiore rispetto a quello dell'altra impresa, purché il prezzo sia comunque superiore al costo marginale. Il processo dinamico del modello di Bertrand conduce verso l'uguaglianza tra il prezzo e il costo marginale ( equilibrio di Bertrand ). Al di sotto del costo marginale le imprese non potrebbero scendere poiché andrebbero in perdita economica. In conclusione, pur essendo un mercato di duopolio, l'equilibrio di Bertrand tende dall'equilibrio di duopolio ( E₀ ) verso l'equilibrio di concorrenza perfetta ( E_C ). Per questa ragione il modello di Bertrand è anche detto "concorrenza di Bertrand" o "paradosso di Bertrand". Il modello viene elaborato dall'economista e matematico francese Joseph Louis François Bertrand nel 1893.

Nel modello di Bertrand le imprese hanno gli stessi costi di produzione ( tecnologia ). Il costo marginale è uguale per entrambe le imprese ed è costante. Il bene è omogeneo. Le due imprese determinano i prezzi in modo simultaneo tenendo conto dell'aspettativa sul prezzo dell'altra. Nel processo dinamico di aggiustamento verso l'equilibrio si possono verificare le seguenti situazioni.

• Prezzo superiore all'altro. Quando una impresa ha un prezzo superiore all'altra, la sua domanda scende a zero.
• Prezzo inferiore all'altro. Quando una impresa ha il prezzo inferiore all'altra, la sua domanda eguaglia l'intera domanda di mercato.
• Prezzi uguali. Quando una impresa ha il prezzo uguale all'altra, la sua domanda è pari alla metà della domanda di mercato. Se il prezzo è ancora superiore al costo marginale, essendo le due imprese in un rapporto di non cooperazione, ogni impresa riduce leggermente il proprio prezzo ( undercutting ) al fine di conquistare l'intera domanda di mercato.

Le due aziende avrebbero la convenienza ad accordarsi tra loro per praticare un prezzo comune, pari al prezzo di monopolio, per massimizzare il profitto. Dovrebbero comportarsi come un'unica grande impresa. Tuttavia, trattandosi di due imprese distinte, ognuna delle due è spinta a non cooperare e a non rispettare qualsiasi accordo comune ( strategia non cooperativa ). Secondo Bertrand a entrambe le imprese conviene ridurre il prezzo di vendita ( strategia aggressiva ) per conquistare l'intera domanda di mercato. Qualsiasi promessa di accordo è, pertanto, una promessa non credibile. Il risultato finale è una competizione di prezzo che porta all'azzeramento dei profitti per entrambe le imprese ( paradosso di Bertrand ). Il processo di aggiustamento dinamico termina quando i prezzi di vendita ( p₁ e p₂ ) convergono verso il costo marginale. L'equilibrio di Bertrand è stabile quando il prezzo di mercato del bene eguaglia il costo marginale. Avendo il medesimo costo marginale, nell'equilibrio di Bertrand le due imprese duopoliste si dividono il mercato al 50%. Il profitto delle due imprese è nullo.

Strategia non cooperativa. Nel modello di Bertrand le imprese adottano un comportamento non cooperativo ( non cooperazione ). L'assenza della collusione spinge le due imprese a determinare il prezzo di vendita al livello leggermente più basso rispetto all'altra. L'assenza della collusione è una delle condizioni necessarie al funzionamento del modello di Bertrand. Nella teoria dei giochi l'equilibrio di Bertrand è rappresentato con una matrice a due colonne e due righe. L'equilibrio cooperativo (D) consente alle imprese di raggiungere il benessere sociale più alto (5,5). Si tratta però di un equilibrio instabile poiché ogni impresa ha interesse a ridurre il prezzo di vendita per ottenere il massimo profitto individuale.

L'impresa 1 riduce il prezzo per ottenere un vantaggio individuale pari a 8 ( cella B ). Contemporaneamente, anche l'impresa 2 riduce il prezzo per aumentare il proprio vantaggio individuale da 5 a 8 ( cella C ). L'equilibrio finale del gioco si colloca nella cella A ( equilibrio di Bertrand ) dove il benessere sociale è minimo (0,0) ed entrambe le imprese non ottengono alcun vantaggio/profitto. L'equilibrio di Bertrand è un equilibrio di Nash poiché entrambe le imprese effettuano la propria scelta migliore tenendo conto della migliore scelta dell'altra. Al pari del dilemma del prigioniero anche il duopolio di Bertrand conduce verso un equilibrio sub-ottimale per entrambi i giocatori.

Oligopolio. Il modello di Bertrand fornisce una spiegazione al funzionamento del mercato di duopolio. Il modello può essere utilizzato anche per spiegare il caso del mercato di oligopolio in cui le imprese adottano una strategia basata sulla concorrenza di prezzo. Nel caso di più imprese ( oligopolio ) la quota di mercato di ciascuna impresa è in funzione del suo prezzo di vendita.

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• Folk Therorem ( gioco ripetuto ). Il duopolio di Bertrand viene descritto come un gioco statico in cui le imprese adottano una strategia aggressiva di riduzione di prezzo per massimizzare i propri profitti. In realtà, pochi fenomeni economici sono considerabili a sé stante. Al contrario, il duopolio è un gioco ripetuto in cui i due agenti economici ( giocatori ) prendono in considerazione le scelte passate dell'altro. Secondo il Folk Theorem, la deviazione dalla cooperazione viene punita nei turni successivi dal giocatore danneggiato. Ad esempio, il seguente gioco inizia da una situazione cooperativa in cui entrambe le imprese ottengono un profitto pari a 5. Nell'istante t+1 l'impresa 1 decide di ridurre il prezzo ottenendo un vantaggio pari a 8. La decisione dell'impresa 1 implica un danno diretto (-1) all'impresa 2 che non riduce il prezzo. Nell'istante successivo t+2 anche l'impresa 2 riduce i prezzi ed entrambe le imprese vedono azzerare i propri profitti. In 4 turni di gioco l'impresa 1 ottiene un profitto pari a 13 mentre l'impresa 2 ottiene un profitto pari a 4.
  
  Se entrambi i giocatori sono razionali, l'impresa 1 è consapevole che il suo comportamento scorretto sarà punito dalla reazione dell'impresa 2. In un gioco ripetuto all'infinito le imprese massimizzano il valore attuale dei profitti ottenibili nei periodi futuri (t+n) e non solo il profitto del periodo corrente (t). In quest'ottica a nessuna delle due imprese conviene adottare una strategia aggressiva di riduzione del prezzo. Al contrario, adottando una strategia tacitamente cooperativa in 4 turni di gioco entrambe le imprese ottengono un profitto pari a 20.
  
  In conclusione, in un gioco ripetuto le imprese duopoliste non adottano le strategie aggressive del modello di Bertrand bensì una strategia tacitamente cooperativa e il prezzo di vendita viene mantenuto al di sopra del costo marginale delle imprese.
• Accordo legale vincolante. Le due imprese duopoliste potrebbero risolvere il paradosso di Bertrand sottoscrivendo un accordo vincolante che implica il pagamento di sanzioni in caso di mancato rispetto degli accordi. In tal modo la promessa reciproca diventa credibile. È però necessario che le sanzioni siano superiori ai benefici ottenibili dal mancato rispetto degli accordi.
• Struttura dei costi diversa. Nel modello di Bertrand le imprese hanno la medesima struttura dei costi. I risultati sarebbero diversi rimuovendo tale ipotesi. Nel caso di due imprese con struttura dei costi diversa, nel modello di Bertrand il prezzo di equilibrio del bene è determinato al livello leggermente inferiore al costo marginale dell'impresa meno efficiente. L'impresa più efficiente ha interesse ad adottare un prezzo di vendita inferiore all'altra impresa, in quanto ciò gli consente di conquistare l'intera domanda di mercato. Non ha però alcun interesse a ridurre ulteriormente il prezzo di vendita. In conclusione, il prezzo di equilibrio non eguaglia il costo marginale dell'impresa più efficiente. L'impresa con la struttura dei costi più efficiente conquista l'intera domanda di mercato senza dover rinunciare completamente al profitto. L'impresa con costo marginale più alto ( meno efficiente ) viene, invece, espulsa dal mercato.
• Differenze con il modello di Cournot. Il modello di Bertrand è simile al modello di Cournot. In entrambi i modelli le imprese adottano una strategia sulla base delle decisioni dell'altra impresa ( interazione strategica ), utilizzando delle funzioni di reazione ( curve di reazione ). Tuttavia, mentre nel modello di Cournot la variabile decisionale strategica è la quantità di produzione del bene, nel modello di Bertrand la decisione strategica è il prezzo.
• Capacità di produzione limitata. Nel modello di Bertrand le imprese non hanno limiti alla capacità di produzione. Rimuovendo tale ipotesi, il risultato finale di equilibrio sarebbe diverso. Nel caso di imprese con vincoli di produzione, ossia con un limite della capacità di produzione, la fissazione del prezzo superiore all'altra impresa non necessariamente implica la perdita dell'intera quota di mercato da parte dell'impresa che detiene il prezzo più alto. L'impresa con il prezzo più basso soddisfa la domanda di mercato in modo parziale, fino al limite della sua capacità produttiva. L'impresa con un prezzo più alto può, quindi, soddisfare la domanda di mercato residuale. Questo particolare caso di duopolio di Bertrand viene studiato dall'economista britannico Francis Edgeworth.
• Dilemma del prigioniero. Il duopolio di Bertrand ha le stesse caratteristiche del dilemma del prigioniero, il gioco in cui ogni giocatore cerca di ottenere il massimo vantaggio personale tenendo conto del massimo vantaggio dell'altro giocatore e l'equilibrio finale è una situazione sub-ottimale per tutti.
• Differenziazione di prodotto. Nel modello di Betrand i beni sono omogenei ( beni perfetti sostituti ). Nella realtà, i prodotti sul mercato sono differenziati e si presentano come beni imperfetti sostituti. In questo modo le imprese possono ridurre il grado di concorrenza nel mercato, riducendo la mobilità del consumatore tra i beni.
• Modello di Hotelling. L'ipotesi del modello di Bertrand è valida soltanto se le imprese duopoliste hanno la stessa localizzazione fisica nello spazio. Quando una delle due è più vicina al mercato, è necessario considerare anche i costi di trasporto necessari per raggiungerle. L'impresa più vicina al mercato può applicare un prezzo di vendita superiore all'altra impresa, senza perdere la propria domanda di mercato. La localizzazione viene studiata nel modello di Hotelling.