La dimostrazione del limite notevole del coseno
Uno dei limiti notevoli riguardanti il coseno è il limite per x→0 del rapporto tra la differenza (1-cos x) e la variabile incognita x2 al quadrato.
E' un caso di forma indeterminata del tipo 0/0.
Per trovare la soluzione del limite si moltiplica la funzione f(x) per il rapporto (1+cos x)/(1+cos x).
Così facendo si può riscrivere la funzione in una forma algebrica più comoda, senza fargli perdere di significato.
Nota. La funzione non perde alcun significato matematico perché la funzione viene moltiplcata per 1. Per questa ragione il comportamento della funzione non cambia.
La nuova forma algebrica permette di modificare il numeratore in (1-cos2 x) trasformando la funzione nel prodotto di due fattori.
Nella trigonometria la somma tra seno al quadrato e coseno al quadrato ( sin2x+cos2x ) è uguale a 1.
Quindi il numeratore ( 1-cos2 x ) può essere sostituito con sin2 x.
Sia il numeratore che il denominatore del primo rapporto sono elevati al quadrato.
Quindi, la funzione può essere riscritta nella seguente forma.
In questo forma equivalente è subito evidente la presenza del limite notevole del seno tra le parentesi del primo fattore.
Nota. Il limite notevole del seno per x→0 è uguale a 1.
Il secondo fattore della funzione 1/(1+cos x) invece tende a 1/2 per x→0.
Nota. In questa forma equivalente non c'è più la forma di indecisione 0/0. Ora il limite è calcolabile.
In conclusione, il limite della funzione è uguale al prodotto tra 12·1/2.
Quindi, il limite della funzione per x→0 è uguale a 1/2.
E' così dimostrato il limite notevole del coseno.
