Come usare i limiti notevoli
Per capire come utilizzare i limiti notevoli per risolvere un limite equivalente, è utile fare qualche esempio pratico.
Esempio
Il seguente limite è una forma indeterminata del tipo 1∞.
Per risolvere questo limite si cerca di trasformarlo in una forma equivalente in cui compaia almeno un limite notevole.
Si crea una variabile di comodo z ponendola uguale a 3x.
In questo modo si riscrive il limite usando la variabile z senza modificarne il comportamento.
Nota. Le variabili z e x sono in correlazione diretta tra loro ( z=3x ). Se x→∞ anche z→∞. Pertanto, si può riscrivere il limite per x→∞ in z→∞ mantenendo lo stesso significato.
In questa forma equivalente il limite della funzione è uguale al limite notevole di Nepero elevato a 1/3.
Sapendo che il limite notevole di Nepero è uguale a e ( numero di Nepero )
Nota. Il limite notevole di Nepero è il seguente
il limite della funzione per z→∞ è uguale a e1/3
Nella forma equivalente del limite è scomparsa la forma di indecisione iniziale 1∞.
Ora il limite è calcolabile ed è un numero finito.
Nota. Per x→∞ il limite ha sempre lo stesso risultato perché le due variabili z e x sono in correlazione diretta tra loro. Se si incrementa z, aumenta anche x, e viceversa.
Si giunge così alla soluzione del limite ( e1/3 ) grazie al limite notevole.
