Il limite notevole del coseno
Uno dei principali limiti notevoli è il limite per x→0 del rapporto tra la differenza (1-cos x) e la variabile x.
Si tratta di una forma indeterminata del tipo 0/0.
Per risolvere il limite si moltiplica la funzione per il rapporto (1-cos x)/(1-cos x).
In questo modo è possibile riscrivere a funzione nel seguente modo.
Nota. Dal punto di vista matematico non cambia nulla, perché il prodotto della funzione per un rapporto uguale a 1 dà comunque lo stesso risultato. Quindi, il comportamento della funzione non cambia.
Questo escamotage algebrico consente di modificare il numeratore in (1-cos2 x) e suddividere la funzione in due fattori.
Secondo la trigonometria la somma tra seno e coseno al quadrato ( sin2x+cos2x ) è uguale a 1 per ogni numero reale.
Pertanto il numeratore ( 1-cos2 x ) del primo termine può essere sostituito con sin2 x.
Ora si sostituisce il quadrato del seno con il prodotto del seno per seno.
In questa forma equivalente è evidente la presenza del limite notevole del seno al primo fattore.
Nota. Il limite notevole del seno per x→0 è uguale a 1.
Il secondo fattore della funzione è il seno di x e tende a 0 per x→0.
Il terzo fattore 1/(1+cos x) tende a 1/2 per x→0.
Nota. In questa forma equivalente è scomparsa la forma di indecisione 0/0. Ora il limite è calcolabile.
Ricapitolando, il limite della funzione è uguale al prodotto tra 1·0·1/2.
Quindi, il limite della funzione per x→0 è uguale a zero.
Si dimostra così il limite notevole del coseno.
