I quantili in una distribuzione per classi di frequenza
I quantili possono essere calcolati anche in una distribuzione per classi di frequenza.
Nota. Le classi di frequenza devono essere ordinabili in modo progressivo crescente o decrescente secondo un criterio logico.
Come si calcolano i quartili nelle classi di frequenza
Supponiamo di voler individuare i quantili della seguente tabella X.
Alla tabella aggiungiamo un'ulteriore colonna per contare la frequenza cumulata ( Φi ).
L'ultimo numero nella colonna della frequenza cumulata è uguale alla somma delle frequenze di tutte le classi ( ΣΦi ) della tabella ( 17 ).
A questo punto supponiamo di voler calcolare i quartili della serie ( Q1, Q2, Q3 ).
I quartili suddividono la serie X in quattro parti uguali.
Pertanto, per trovare la frequenza del primo quartile dobbiamo dividere per quattro la somma delle frequenze ( 17 / 4 ).
Si ottiene così la frequenza del primo quartile ( Φ Q1 ) ossia 4,25.
Nota. Se volessimo calcolare i decili dovremmo dividere per dieci ( 17 / 10 ), i percentili per cento ( 17 / 100 ), e così via.
Nella tabella si cerca in quale frequenza cumulata è compreso il valore ( 4,25 ) della frequenza del primo quartile Φ Q1.
In questo caso, si trova nella seconda classe perché 4,25 è compreso tra 4 ( fine prima classe ) e 11 ( fine seconda classe ).
Pertanto la classe di frequenza 50-60 è il primo quartile Q1 della serie.
Come si trova il secondo quartile
Per trovare il secondo quartile è sufficiente moltiplicare per due la frequenza del primo quartile.
Si ottiene così la frequenza del secondo quartile Φ Q2.
Nella tabella la frequenza del secondo quartile ( 8.5 ) è compreso tra 4 ( fine prima classe ) e 11 ( fine seconda classe ).
Pertanto, il secondo quartile Q2 della distribuzione è la classe 50-60.
Nota. In questo caso il primo quartile Q1 e il secondo quartile Q2 risiedono nella stessa classe di frequenza.
Come si calcola il terzo quartile
Per calcolare il terzo quartile (Q3) si utilizza lo stesso metodo usato per il secondo.
Si moltiplica per tre la frequenza del primo quartile.
In tabella la frequenza del terzo quartile Φ Q3 ( 12.75 ) è compresa tra 11 ( fine della seconda classe ) e 14 ( fine della terza classe ).
Pertanto, il terzo quartile (Q3) della serie si trova nella classe 60-70.
Il metodo dell'interpolazione
Il metodo dell'interpolazione è utilizzato per calcolare il valore preciso dei quantili.
La formula del metodo dell'intepolazione è la seguente:
Nota. Dove X è la posizione del quantile mentre P il numero complessivo di parti in cui è stata suddivisa la serie. Ad esempio, il secondo quartile è X=2 e P=4. Il terzo percentile è X=3 e P=100, e così via.
Un esempio pratico
Il primo quartile Q1 è compreso nella seconda classe 50-60 kg.
Pertanto, il limite inferiore L1 della classe è 50
L'ampiezza (c) della classe 50-60 è pari a 10 mentre la frequenza Φ50-60 è 7.
Le frequenze totali (N) sono 17.
La somma delle frequenze delle classi inferiori ( ΣΦi ) è uguale a 4.
Sostituendo questi valori alla formula dell'interpolazione si ottiene il valore del primo quartile.
Il primo quartile (Q1) è uguale a 50,3 kg.
La stessa formula può essere utilizzata per calcolare il secondo quartile (Q2).
Il secondo quartile si trova sempre nella seconda classe 50-60 kg.
Tuttavia, in questo caso si divide per 2/4 ( non più per 1/4 ) perché si tratta del secondo quartile.
Il secondo quartile (Q2) è uguale a 56,4 kg.
Nota. Così facendo abbiamo calcolato il valore del primo quartile (Q1) e del secondo quartile (Q2) anche se appartengono alla medesima classe 50-60 kg.
Allo stesso modo si calcola il valore del terzo quartile (Q3).
In questo caso si divide per 3/4 perché si tratta del terzo quartile.
Il terzo quartile si trova nella classe 60-70 kg.
il limite inferiore L3 della classe è 60 mentre la frequenza Φ60-70 è 3.
La somma delle frequenze delle classi inferiori ( ΣΦi ) è uguale a 11.
Il terzo quartile (Q3) è uguale a 65,83 kg.
In conclusione, grazie al metodo dell'interpolazione abbiamo calcolato i valori precisi del primo quartile (Q1), del secondo quartile (Q2) e del terzo quartile (Q3).
