Struttura algebrica

Una struttura algebrica è una struttura che viene dotata a un insieme non vuoto, indicato con la lettera \( A \), il quale è composto da elementi di natura arbitraria. L'unicità di tale struttura deriva dall'essere definita tramite una o più operazioni, che possono essere sia interne sia esterne. A seconda del numero e del tipo di queste operazioni, oltre che delle proprietà specifiche che esse soddisfano, si possono identificare diverse tipologie di strutture algebriche.

Per illustrare meglio, si consideri l'insieme $$ A = \{a, b, c\} $$ Se definiamo un'operazione interna, come ad esempio la somma, che rispetti determinate regole (ad esempio la commutatività e l'associatività), allora l'insieme \( A \) con questa operazione può essere considerato un gruppo, se esiste anche un elemento neutro e ogni elemento ha un inverso. Se invece aggiungiamo un'altra operazione, come il prodotto, che interagisce con la somma in un modo particolare (distributività), allora \( A \) può essere considerato un anello o un campo, a seconda delle ulteriori proprietà soddisfatte.

La "struttura algebrica" comprende sia l'insieme di sostegno $ A $ e sia le operazioni definite sull'insieme. Questo approccio consente di classificare e studiare sistematicamente gli insiemi e le loro operazioni in contesti matematici molto più ampi.

La gerarchia delle strutture algebriche

la gerarchia delle strutture algebriche parte dal gruppoide e si evolve aggiungendo progressivamente ulteriori requisiti:

• Gruppoide
  Struttura base, dotata solamente di un'operazione binaria chiusa.
• Semigruppo
  Gruppoide che aggiunge l'associatività all'operazione, garantendo che l'ordine delle operazioni non alteri il risultato.
• Monoide
  Semigruppo che include un elemento neutro, che agisce come un'identità rispetto all'operazione.
• Gruppo
  Monoide dove ogni elemento ha un inverso, permettendo operazioni come divisione e cancellazione.

Ogni struttura è un rafforzamento di quella precedente mediante l'introduzione di nuovi assiomi.