Gruppoide

Il concetto di gruppoide (o magma) è una struttura algebrica di base \((A, *)\) dove \(A\) è un insieme non vuoto e \(*\) è un'operazione binaria su \(A\) che associa a ogni coppia di elementi \(a\) e \(b\) in \(A\) un terzo elemento \(a * b\) di \(A\).

L'essenza di questa struttura risiede nella chiusura dell'operazione \(*\), ovvero il risultato di \(*\) applicato a qualsiasi coppia di elementi di \(A\) è sempre un elemento di \(A\).

Per esempio, consideriamo l'insieme \(N\) dei numeri naturali. Se equipaggiamo \(N\) con l'operazione di addizione (\(+\)), otteniamo un gruppoide \((N, +)\). Similmente, \(N\) equipaggiato con la moltiplicazione (\( \cdot \)) forma un altro gruppoide \((N, \cdot )\)

Questi esempi dimostrano come strutture matematiche familiari siano casi particolari di gruppoide, mostrando l'ubiquità e l'utilità di questa nozione.

Tuttavia, se consideriamo l'operazione di sottrazione su \(N\), non otteniamo un gruppoide perché \(N\) non è chiuso rispetto alla sottrazione.

Ad esempio, \(3 - 5 = -2\) non è un elemento di \(N\). Questo dimostra che la sottrazione non è un'operazione interna su \(N\).

Al contrario, se consideriamo l'insieme \(Z\) dei numeri interi, allora \(Z\) risulta essere chiuso rispetto alla sottrazione, formando così un gruppoide \((Z, -)\).

Il gruppoide è la struttura algebrica di base

Il gruppoide è la struttura più basilare definita da un'insieme e da un'operazione binaria che è chiusa su tale insieme.

Aggiungendo al gruppoide altre proprietà si formano altre strutture algebriche:

• Semigruppo: È costruito da un gruppoide a cui si aggiunge l'assioma dell'associatività che rende irrilevante l'ordine delle operazioni.
• Monoide: Estende il semigruppo con l'introduzione di un elemento neutro, che non altera gli altri elementi rispetto all'operazione definita.
• Gruppo: È un ulteriore rafforzamento del monoide, ogni elemento ha un inverso. Questo permette operazioni come la divisione e la cancellazione.

Ogni passaggio nella gerarchia non solo arricchisce la struttura precedente con nuove regole ma espande anche le sue applicazioni matematiche e teoriche.

Tipi di gruppoidi

I gruppioidi si classificano in base alla natura dell'operazione binaria che utilizzano:

• Gruppoide moltiplicativo: Tratta l'operazione come moltiplicazione, generalmente indicata con i simboli · o ×. L'operazione tra due elementi \(x\) e \(y\) è spesso scritta come \(xy\), omettendo il simbolo di moltiplicazione.
• Gruppoide additivo: Tratta l'operazione come addizione, generalmente indicata con il simbolo +. L'operazione tra due elementi \(x\) e \(y\) è espressa come \(x + y\).

Questa classificazione influisce sulla notazione e sulle proprietà interpretative delle operazioni all'interno dei gruppioidi.