Funzione continua
La definizione di funzione continua
Una funzione f(x) è detta continua in un punto c se esiste il limite della funzione per x tendente a c ed è uguale al valore della f(x) nel punto c.
Nella rappresentazione grafica la funzione continua appare con un tratto continuo e senza interruzioni.
Come calcolare il limite di una funzione continua
Per calcolare il limite della funzione continua in un punto c del suo intervallo di definizione, è sufficiente calcolare il valore della funzione in quel punto.
Un esempio di funzione continua
Data la seguente funzione f(x) vogliamo capire se la funzione è continua nel punto x=4.
Calcoliamo il limite della funzione per x che tende a 4.
Il limite della funzione per x→4 è 16.
Ora calcoliamo il valore della funzione f(x) per x=4.
Il valore della funzione in x=4 è 16.
Il limite della funzione per x→4 e il valore della funzione f(4) sono uguali.
Pertanto, si può affermare che la funzione f(x) è continua nel punto x=4.
Sul diagramma cartesiano il grafico della funzione ha un tratto continuo intorno a x=4.
Un esempio di funzione non continua
La seguente funzione non è continua nel punto x=1.
Il limite destro e sinistro della funzione per x tendente a 1 non sono coincidenti e sono rispettivamente -∞ e +∞.
Il valore della f(x) nel punto x=1 non è calcolabile, perché la funzione non è definita in questo punto.
In questo caso il limite della funzione f(x) per x→1 non è uguale a f(1).
La condizione della continuità non è rispettata nel punto x=1.
Quindi, la funzione non è continua in x=1.
Come si può notare nel grafico, intorno al punto x=1 il grafico della funzione si interrompe. Non c'è continuità.
Nota. In tutti gli altri punti del suo dominio la funzione è continua. Quindi, le funzioni potrebbero essere funzioni continue soltanto in alcuni punti del loro dominio.
