La media aritmetica
La media aritmetica è un indice sintetico di posizione in una distribuzione di valori.
La formula della media matematica
Dati N valori numerici XN, la media numerica è il rapporto tra la somma dei valori XN e il numero N dei valori.
A cosa serve la media aritmetica? È utilizzata nei calcoli matematici e statistici. L'uso della media aritmetica è indicato nelle variabili numeriche ( variabili statistiche quantitative ) quando i valori della distribuzione non si discostano troppo l'uno dall'altro.
Come calcolare la media aritmetica
Data una distribuzione di valori XN contenente un insieme finito di N valori numerici
per calcolare la media aritmetica si devono sommare algebricamente tutti i valori numerici della distribuzione XN.
La somma S deve, infine, essere divisa per il numero N dei valori.
Il risultato MA ottenuto è la media aritmetica della distribuzione di valori.
La proprietà di interiorità della media aritmetica
La media aritmetica è sempre compresa tra il valore minimo e il valore massimo dei dati. Questa caratteristica degli indici di posizione è detta proprietà di interiorità.
La media aritmetica può essere uguale a un estremo dei dati, soltanto nel caso in cui tutti i valori numerici della rilevazione sono uguali.
Quando usare la media aritmetica
La media aritmetica è un indice di sintesi efficace in una distribuzione senza eccessivi scostamenti dai valori centrali.
Viceversa, la media aritmetica non fornisce un'informazione utile quando la distribuzione presenta molti scostamenti e valori anomali.
Ad esempio, la media aritmetica è fuorviante in presenza di valori molto più piccoli o molto più grandi rispetto agli altri.
Primo esempio
La seguente distribuzione è composta dai valori { 5, 6, 7, 9 }. La media aritmetica è pari a 6,75 ed è un indicatore di sintesi rappresentativo della distribuzione numerica.
Secondo esempio
Riprendiamo la precedente distribuzione e sostituiamo il valore 9 con 25. La nuova distribuzione di valori è { 5, 6, 7, 25 } e l'ultimo valore si discosta nettamente dagli altri.
Nella distribuzione tre valori sono molto vicini tra loro (5,6,7) mentre uno è molto più grande (25) e incide fortemente sulla media aritmetica.
Nonostante la maggior parte dei valori siano compresi tra 5 e 7, la media aritmetica diventa 10,75 ed è meno rappresentativa dell'intera distribuzione numerica.
In questo caso la media aritmetica restituisce un'informazione distorta e fuorviante.
Esempio di calcolo della media aritmetica
Date una serie di temperature rilevate in diversi capoluoghi di provincia, calcolare la temperatura media.
Nota: la media aritmetica ha la stessa unità di misura dei valori. Sia la media che i valori sono espressi in gradi centigradi (°C).
Proprietà della media aritmetica
- La somma algebrica delle differenze tra ogni valore numerico di un insieme numerico X e la loro media aritmetica μ è uguale a zero.
- La somma algebrica dei quadrati delle differenze tra ogni valore di un insieme numerico X e un numero K è minima, quando il numero K è la media aritmetica dell'insieme numerico X.
- Dati tre insiemi numerici X, Y, Z con nx, ny e nz elementi e tre medie aritmetiche mx, my, mz, la media aritmetica dell'insieme X+Y+Z, composto da tutti i numeri degli insiemi, è uguale alla somma algebrica ( nx · mx ) + ( ny · my ) + ( nz · mz ) divisa per la somma di tutti gli elementi ( nx + ny + nz ).
La media aritmetica in una tabella di frequenze
In una tabella di frequenze la media aritmetica può essere calcolata moltiplicando considerando le frequenze assolute della tabella come un peso.
Nel caso in cui la tabella sia suddivisa in classi di frequenze, è necessario calcolare il valore centrale di ogni classe e moltiplicarlo per la frequenza assoluta.
Dividendo la somma dei prodotti delle frequenze ( 835 ) per il totale delle frequenze assolute ( 23 ) si ottiene la media aritmetica ( 36,3 ) dell'intera popolazione.
- La media aritmetica può essere calcolata solo per le variabili quantitative? Si, la media aritmetica è un indice di posizione che può essere calcolato soltanto quando la variabile statistica ha natura quantitativa.
- Quando si parla di "media" a cosa ci si riferisce? Per convenzione, quando si utilizza il termine "media" senza specificare altro, ci si riferisce alla media aritmetica.
